- •1.Частные производные, дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
- •3. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •4Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
- •5 Производная по направлению, градиент(grad)
- •6. Экстремум функции нескольких переменных (необходимое условие).
- •7. Условный экстремум функции нескольких переменных, функция Лагранжа.
- •8.Первообразная функция, Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •15.Интегрирование иррациональных выражений
- •16.Определенный интеграл.
- •17. Св-ва опред.Интегралов.Интегральная теорема о среднем.
- •18.Формула Ньютона-Лейбница.
- •24,25, 26.Вычисление дуг линий.
- •27.Вычисление объемов тел вращения.
- •28. Несобственные интегралы первого рода.
- •31, 32 Двойные интегралы
- •33.Тройной интеграл . Вычисление тройного интеграла в дикартовых координатах.
- •34 Замена переменных в тройном интеграле.
- •35 Тройной интеграл цилиндрических поверхностях
- •36 Тройной интреграл в сферических координатах
- •37 Кри-1
- •38 Ориентированая кривая. Задачи привод к кри-2
- •39 С-ва кри-2. Вычисление кри-2. Связь между кри-1 и кри-2
- •40. Формула Грина
- •44 Ориентированная поверхность. Задачи приводящие к пи-2
- •46 Векторное поле. Поток вектора через поверхность
- •47 Формула Остроградского-Гаусса
- •48 Дивергенция векторного поля
- •50. 52. Циркуляция векторного поля. Ротор(вихрь)
- •51 Формула Стокса
- •53 Потенциальное поле. Условие потенциальности, свойства.
- •53. Векторные диф операции 1 и 2 порядка. Оператор Гамильтона
40. Формула Грина
С помощью формулы Грина устанавливают связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и КРИ по границе Lэтой области
Пусть D плоской области ограничена линией L в замкнутой области D, заданы непрерыв фун X(xy) Y(xy) которые имеют непрерыв частные производные.
Пусть граница М состоит из L1 и L2 заданы уравнением наL задан направление движения чтобы этом движ области D … с левой стороны при обходе L против часовой стрелки. Вычислим 2-ой интеграл
Вычислим КРИ по кривой L
Сравним правые части ур (1) и (2)
Аналогично доказ что справедливо след равенство
Сложим (3) и (4)
(5)- формула Грина
44 Ориентированная поверхность. Задачи приводящие к пи-2
Проведем в точку Р поверхностиQ нормаль, фиксир одну из возможных направл этих нормалей. Единичная величина направ по нормалям в установленом на ней направлении обзначается через n(P). Если это возможно сделать то поверхность Q вместе с направ нормалями устанавливает направление ее точки наз ориентир поверх
Задача о вычислении потока жидкости через поверхность. Дана пространственная область, заполненная жидкостью, движущейся со скоростью . Требуется вычислить количество жидкости, протекающей в единицу времени через данную поверхностьРазобьем поверхность наэлементарных частей, площади которых равны, а диаметры. Выберем в каждой некоторую точкуи будем считать, что скорость для всех точек элементарной части одинакова и равна.Количество жидкости, протекающей черезза единицу времени, равно произведению, где– проекция скоростина ось, определяемую единичным вектором нормалик поверхности к точке. Тогда количество жидкости можно найти по формуле, где– углы, образованные нормальюс координатными осями. В результате количество жидкости, протекающей через всю поверхность за единицу времени, приближенно выражается формулой. Проекции элементарной поверхностина координатные плоскостивыражаются следующим образом,,. Тогда количество жидкости выражается следующим образом. Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из диаметров областейстремился к нулю. Количество жидкости, проходящей через поверхность в единицу времени можно найти по формуле.
45 вычисление поверхностного интеграла второго рода Пусть поверхность определена уравнением, заданным в области– проекции поверхностина плоскость. Тогда поверхностный интеграл второго рода по переменнымиможно свести к двойному интегралу.. Знак зависит от выбора стороны поверхности. Аналогично получаем:,. В общем случае получаемМожно показать связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
46 Векторное поле. Поток вектора через поверхность
Изучение поля скоростей текущей жидкости приводит к понятию потока поля. Рассмотрим простейший случай, когда скорости всех частиц стационарно текущей жидкости одинаковы.
Возьмём в этом потоке плоскую площадку .
Объём жидкости, которая протекает в единицу времени сквозь, будет равен объёму цилиндра с основаниеми образующей:, где- единичный вектор нормали к площадке, т. е.. Здесь. Полученный объём
Сделаем обобщение этого элементарного понятия на случай произвольного векторного поля и произвольной поверхности .
Рассмотрим некоторую поверхность в векторном поле. На данной поверхности выделим некоторую достаточно малую область(Рис.9). В этой области возьмём точку,. К поверхностипостроим касательную плоскость, касающуюся поверхности в точке.
На касательной плоскости определим плоскую площадку, равновеликую. Площадкупримем за основание цилиндра, образующие которого равны по длине и параллельны вектору поляв точке.
Как уже отмечено выше, объём полученного цилиндра даёт элементарный поток через область поверхности
|
|
|
| ||
|
|
| |||
|
| ||||
|
|
|
Рис. 10. Разбиение области на частичные области
(41)
Этот предел поверхностной интегральной суммы не зависит ни от способа дробления области на частичные области, ни от выбора точекна каждой из них, и равен поверхностному интегралу. Получаем основную формулу потока полячерез поверхностьв направлении единичной нормали
. (42)