- •ЛЕКЦИЯ № 1
- •§ 1. Области и их границы
- •§ 3. Элементарные ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 2
- •§ 4. Производная ФКП. Условия Коши – Римана
- •§ 5. Аналитические ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 3
- •§ 7. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§ 8. Теорема Коши
- •§ 9. Формула Коши
- •ЛЕКЦИЯ № 4
- •§ 10. Числовые и функциональные ряды ФКП
- •§ 12. Ряд Лорана ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 5
- •§ 13. Особые точки ФКП
- •ЛЕКЦИЯ № 6
- •Практические занятия
- •Ответы
- •ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
- •Литература
Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
|
|
|
Кафедра «Высшая математика № 1» |
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
КУРС ЛЕКЦИЙ И |
|
|
||
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИБ |
||||||
|
|
|
|
ФУНКЦИЙ |
|
|
|
|
|
|
КОМПЛЕКСНОГОи |
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
ПЕРЕМЕННОГОр |
|
|
||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
Учебное электронное издание |
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
Минск 20 1 1
УДК 517.53/.55(075.8)
ББК 22.1я7 Э 45
|
|
|
|
|
|
Авторы : |
|
|
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Н. А. Микулик, Т. С. Яцкевич, И. Н. Катковская, Е. А. Герасимова, |
|||||||||||
|
|
|
Л. А. Раевская, Т. И. Чепелева |
|
Т |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Рецензенты |
|
Н |
|
|||
|
|
|
А. Н. Исаченко, М. Н. Покатилова |
|
|
|
||||||
Э 45 Курс лекций и практикум по теории |
|
Б |
|
|
||||||||
|
комплексного пере- |
|
||||||||||
|
менного/ Н.А. Микулик [и др.]. – Минск: БНТУ, 2011. – 89 с. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
теорет |
ческ |
материал по избранным гла- |
|||
|
В данном курсе лекций излагается |
|||||||||||
вам теории функций комплексного пе еменногофункций(ТФКП), который предусмотрен |
||||||||||||
программой по математике для студентов маш ностроительных специальностей |
||||||||||||
|
|
|
|
|
приведено |
|
|
|
|
|
||
втузов. В каждой из 6 лекций |
|
|
дистаточное количество задач и примеров |
|||||||||
с подробными решениями |
|
|
ациями. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
иллюст |
|
|
|
|
|
|
||
|
Также подобраны ма ериалы для 4 практических занятий по наиболее важным |
|||||||||||
темам. Все примеры снабжены |
ве ами. В работе имеется еще и типовой расчет |
|||||||||||
по теории функций комплексного переменного. |
|
|
|
|
||||||||
|
Данное пособ е предназначено для студентов машиностроительных специаль- |
|||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ностей, а также оно будет полезно для преподавателей, читающих лекции и прово- |
||||||||||||
дящих занятия ТФКП. Избранная авторами методика изложения делает пособие |
||||||||||||
|
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вполне приг дным дляисамостоятельного овладения предметом. |
|
|
|
|||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бел русский национальный технический университет |
|
|
|
||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р-т Независим сти, 65, г. Минск, Республика Беларусь |
|
|
|||||||||
|
Т л.(017)292-77-52 факс (017)292-91-37 |
|
|
|
|
|||||||
Р |
E-mail: tchepeleva@gmail.com |
|
|
|
|
|
|
|||||
http://www.bntu.by/fitr-vm1.html |
|
|
|
|
|
|||||||
егистрационный № ЭИ БНТУ/ФИТР48-5.2011 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
© Микулик Н.А., Яцкевич Т.С., 2011 |
© Чепелева Т.И., компьютерный дизайн, 2011 © БНТУ, 2011
2
|
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
|
||
ЛЕКЦИЯ № 1............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
§ 1. Области и их границы |
.................................................................. |
|
|
|
|
4 |
||||
§ 2. Определение функции комплексного переменного (ФКП). |
|
|||||||||
Предел, непрерывность....................................................................... |
|
|
|
|
|
5 |
||||
§ 3. Элементарные ФКП..................................................................... |
|
|
|
|
|
9 |
||||
ЛЕКЦИЯ № 2 ............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
§ 4. Производная ФКП. Условия ............................Коши – Римана |
|
|
14 |
|||||||
§ 5. Аналитические ФКП.................................................................... |
|
|
|
|
У19 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
§ 6. Геометрический смысл .....аргумента и модуля производной |
21 |
|||||||||
ЛЕКЦИЯ № 3............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
Т |
24 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
§ 7. Интеграл от функции комплексного ...................переменного |
|
|
24 |
|||||||
§ 8. Теорема Коши............................................................................... |
|
|
|
|
|
|
27 |
|||
§ 9. Формула Коши.............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
30 |
|||
ЛЕКЦИЯ № 4............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
§ 10. Числовые и функциональные .................................ряды ФКП |
|
|
36 |
|||||||
§ 11. Ряд Тейлора функции ................комплексного переменного |
|
38 |
||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
§ 12. Ряд Лорана ФКП......................................................................... |
|
й |
|
|
41 |
|||||
ЛЕКЦИЯ № 5............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
§ 13. Особые точки ФКП.................................................................... |
|
|
|
|
|
47 |
||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
§ 14. Нули аналитических функций. Связь между нулями и |
|
|
||||||||
полюсами.............................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
||
§ 15. Поведение функцииов окрестности бесконечно удаленной |
|
|||||||||
точки..................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЕКЦИЯ № 6............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 16. Вычет |
|
|
в конечной изолированной особой точке. |
|
||||||
Осн вная те рема о вычетах.............................................................. |
|
|
|
|
57 |
|||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практические занятия.............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
66 |
|||
Занятие № 1.......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
66 |
||
Занятие № 2.......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
66 |
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие № 3.......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
67 |
||
еЗанятие № 4.......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
68 |
||
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ |
................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
70 |
||
Литература ................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
3
ЛЕКЦИЯ № 1
§1. ОБЛАСТИ И ИХ ГРАНИЦЫ
Пусть имеем множество Е точек z = x +iy |
комплексной плос- |
||||
кости Z. |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
||
Точка z0 называется внутренней точкой множества Е, если все |
|||||
|
|
|
|
Т |
|
точки достаточно малого круга с центром в точке z0 принадлежат Е. |
|||||
|
|
|
Н |
|
|
Точка z1 , принадлежащая или не принадлежащая множеству Е, |
|||||
называется граничной точкой множества Е, если любой круг с цен- |
|||||
|
|
Б |
|
|
|
тром |
z1 содержит точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие |
||||
Е. |
|
|
|
|
|
Множество всех граничных точек множества Е называется гра- |
|||||
ницей множества Е. |
|
|
|
|
|
Точка z называется внешней точкой множества Е, если вместе |
|||||||||||||||
с этой точкой множеству Е не пр надлеж т и некоторый круг с |
||||||||||||||||
центром в z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
й |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П имеиы |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
||
|
1. |
Множество |
z |
<1 |
с держит только внутренние точки. Окруж- |
|||||||||||
ность |
z |
=1 |
– гран ца э |
|
огомножества. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
состоит только из внутренних точек. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2. Множество |
|
z |
|
>1 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3. |
и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1≤ |
z −i |
≤ 2 содержит внутренние и граничные точки. |
|||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Областью называется множество D точек плоскости Z, облада- |
|||||||||||||||
ющее следующими свойствами: |
|
|||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
• |
D состоит из одних внутренних точек (свойство открытости); |
||||||||||||||
Р |
• |
любые две точки, |
принадлежащие D, можно соединить непре- |
рывной линией, целиком состоящей из точекD (свойство связности). Множество точек, состоящее из области D и ее границы, называ-
ется замкнутой областью и обозначается D .
Окрестностью точки z0 на плоскости Z называется произвольная область, содержащая точку z0 . Под ε (окрестностью конечной точ-
4
ки z0 ) будем понимать круг z − z0 < ε, где ε – радиус. Точка z = ∞
называется бесконечно удаленной точкой.
Примеры
2.1≤ z −i ≤ 2 не является областью (нарушено условие открытостиУ).
3.Re z Im z > 0 не является областью, так как нарушеноТусловиеНz >1 ; z <11.ременнойсвязности – незамкнутые области.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
t1 ≤ t ≤ t2 , является параметрическим уравнением непрерывной |
|||||||||||
кривой L на комплексной плоскости. |
й |
||||||||||
|
Если ϕ(t) , ψ(t) непрерывны и имеют непрерывные производ- |
||||||||||
ные, причем [ϕ'(t)]2 +[ψ'(t)]2 ≠ 0 , |
ли |
, то кривая L называется |
|||||||||
t1 ≤ t ≤ t2 |
|||||||||||
гладкой. Замкнутая кривая, не |
меющая точек самопересечения, |
||||||||||
называется замкнутым конту ом |
|
просто контуром. |
|||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем будем считать, что г аницы рассматриваемых обла- |
||||||||||
стей состоят из конечного числа замкнутых контуров, разрезов и точек. |
|||||||||||
|
|
|
|
т |
рс ст ит вся граница области D, назы- |
||||||
|
Число частей, из ко рых |
||||||||||
вается порядком связн с и э |
й |
бласти (рис. 1). |
|||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
в) четырехсвязная область |
||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП).
ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Пусть на плоскости Z задано произвольное множество точек Е (оно может содержать и точку z = ∞).
5
Говорят, что на множестве Е задана функция |
|
w = f (z) , |
(1) |
если каждой точке z E поставлены в соответствие одна или не- |
||||||||||||||
сколько точек w. В первом случае функция называется однознач- |
||||||||||||||
ной, а во втором – многозначной. |
|
|
|
|
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Множество Е называется множеством определения функции |
|||||||||||||
f (z) , а множество K всех значений |
|
|
|
|
Т |
|||||||||
w, которые f (z) принимает на |
||||||||||||||
Е – множеством изменения функции f (z) . |
Н |
|
||||||||||||
|
Если Е и K – области, то говорят об области задания и области зна- |
|||||||||||||
чений функции w = f (z) . Если z = x +iy |
и w = u +iv , то |
w = f (z) = |
||||||||||||
= f (x +iy) = u(x, y) +iv(x, y) , а |
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||||
|
|
|
u(x, y) = Re f (z), |
|
|
й |
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
v(x, y) = Im f (z) . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
едставить |
|
|
|
|||
|
Таким образом, задание функции (1) комплексного переменного |
|||||||||||||
равносильно заданию двух функц й (2) двух де ствительных пере- |
||||||||||||||
менных. |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
в виде (рис. 2): |
|
|
|||
|
Геометрически это можно п |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Это означает, что между точками множества Е на плоскости хОу
и точками множества К на плоскости uOv функция ω = f (z) |
уста- |
|||||||||||||||||||||
навливает соответствие. Или функция |
w = f (z) |
отображает точки |
||||||||||||||||||||
множества Е в точки множества К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||
|
В этом случае точки множества К |
называются образами соот- |
||||||||||||||||||||
ветствующих точек множества Е. |
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||
|
Если каждая точка |
z E при помощи функции w = f (z) |
отоб- |
|||||||||||||||||||
ражается в единственную точку w K и, |
наоборот, каждая точка |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||
w K отображается обратной функцией z = ϕ(ω) в единственную |
||||||||||||||||||||||
точку множества Е, то говорят, что между множествами Е и К уста- |
||||||||||||||||||||||
новлено взаимно-однозначное соответствие. |
Б |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
В таком случае функции w = f (z) и z = ϕ(w) |
называются одно- |
||||||||||||||||||||
значными, а отображение однолистным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть w = z |
|
|
|
|
р |
|
|
|
x = Rcost; |
|
y = Rsint |
||||||||||
|
|
. Найти изоб ажен е л н |
|
|
|
|||||||||||||||||
(0 ≤ t ≤ π) в плоскости w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
z |
= x + iy = Rcost + iRsin t = Reit . w = R2e2it . |
|
w |
= R2 ; |
||||||||||||||||
arg w = 2t. При |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 ≤ t ≤ π |
0о≤ arg w ≤ 2π (рис. 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y |
з |
|
|
|
|
v |
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
||||
|
|
п |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
оR |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3
7
Пусть функция w = f (z) – однозначная, |
определена для любых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z E , исключая, быть может, точку z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Число |
А≠ ∞ называется пределом функции |
|
|
в точке |
z0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||
lim f |
(z)= A , если для ε > 0 |
δ(ε)> 0 такое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
что для всех |
z , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
удовлетворяющих |
неравенству |
0 < |
|
z − z0 |
|
|
< δ, |
выполняется |
нера- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
венство |
|
f (z)− A |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
A = ∞ называется пределом функции |
|
|
z → z0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim f (z) =∞ , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
z→z |
|
|
|
|
|||||||||
если для R > 0 δ > 0 такое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
что из неравества |
0 < |
|
z − z0 |
|
< δ |
сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дует неравенство |
|
|
f (z) |
|
> R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пусть A = B +iC и f (z)= u(x, y)+iv(x, y), |
причем z0 = x0 +iy0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. Если существует |
lim |
f |
|
(z)= A = B + iC, |
то существует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x, y)= B |
z =z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
lim |
и |
lim |
v(x, y)= C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→x |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→иx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
y→y0 |
|
т |
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство |
еоремы пред ставляем читателю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из теоремы следует, ч все теоремы о конечных пределах для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций действ тельного переменного справедливы для ФКП. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть теперь f |
(z) определена в точке z0 |
и ее окрестности. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция f (z) |
на ывается непрерывной в конечной точке |
z0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если lim |
f (z) |
= f (z0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
|
|
z − z |
= ∆z, |
тогда lim |
|
f |
z |
|
+∆z |
− f |
z |
|
|
= lim ∆w = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
|
о0 |
|
|
|
∆z→0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 ) |
|
|
∆z→0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
На основании теоремы имеем, |
что если |
lim f (z)= B + iC = f (z |
|
), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ето lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u(x, y)= B = u(x0 , y0 ) |
и |
|
|
lim |
|
|
v(x, y)= C = v(x0 , y0 ) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
РСледовательно, |
если w = f (z) |
непрерывна |
в |
|
конечной точке |
z0 = x0 +iy0 , то u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0 , y0 ) .
8