Контрольная работа для Ольги Лысой
.pdfЗадание 1.
а) Проверить невырожденность системы линейных уравнений и решить ее по формулам Крамера и матричным способом.
x1 + 2x2 - x3 = 2, |
||
|
|
+ 2x3 = 2, |
2x1 −3x2 |
||
|
3x + x |
+ x = 8. |
|
1 2 |
3 |
Решение.
Запишем систему уравнений в матричной форме
1 2 |
−1 |
|
x1 |
|
2 |
||||||
A = |
2 |
-3 |
2 |
|
, |
x = x |
|
и B = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
x |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Тогда систему уравнений можно записать в виде A × x = B .
Проверим невырожденность системы. Для этого вычислим определитель матрицы A :
|
|
1 |
2 |
-1 |
|
= 1×(-3)×1+ 3× 2 × 2 + 2 ×(-1)×1- (-1)×(-3)×3 - 2 × 2 ×1-1× 2 ×1 = |
|
|
|||||
D = det A = |
|
2 |
-3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -3 +12 - 2 - 9 - 4 - 2 = -8 ¹ 0.
Так как D ¹ 0 , то система невырождена. Решим систему по формулам Крамера.
Если определитель D = det A матрицы системы Ax = b отличен от нуля, то система
имеет единственное решение x1 , x2 , x3 , определяемое формулами Крамера xi = Di где
Di , (i =1, 2, 3)– определитель матрицы 3-го порядка, полученной из матрицы A системы
заменой i – |
го столбца столбцом правых частей b . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
-1 |
|
= 1×(-3)×1+ 3× 2 × 2 + 2 ×(-1)×1- (-1)×(-3)×3 - 2 × 2 ×1-1× 2 ×1 = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
D = det A = |
2 |
|
|
-3 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= -3 +12 - 2 - 9 - 4 - 2 = -8 ¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
-1 |
|
= 2 ×(-3)×1+ 8 × 2 × 2 + 2 ×(-1)×1- (-1)×(-3)×8 - 2 × 2 ×1- 2 × 2 ×1 = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
D1 = |
|
2 -3 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
8 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= -6 + 32 - 2 - 24 - 4 - 4 = -8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
D2 = |
|
|
1 |
2 |
-1 |
|
|
=1× 2 ×1+ 3× 2 ×2 + 2 ×(-1)×8 - (-1)× 2 ×3 - 2 × 2 ×1-1× 2 ×8 = 2 +12 -16 + 6 - 4 -16 = -16, |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
= 1×(-3)×8 + 3× 2 × 2 + 2 × 2 ×1- 2 ×(-3)×3 -1× 2 ×1- 2 × 2 ×8 = |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
D3 = |
|
2 -3 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= -24 +12 + 4 +18 - 2 - 32 = -24. |
|
= −8 = 1, |
|
|
= −16 = 2 , |
|
|
−24 = 3 . |
||||||||||||||||
Тогда решение системы x = |
1 |
x = |
2 |
x = |
3 = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
D |
-8 |
2 |
D |
-8 |
3 |
D |
-8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) с помощью обратной матрицы.
A−1 × Ax = A−1 ×b , Ex = A−1 ×b .
Обратная матрица A−1 матрицы А имеет вид
|
−1 |
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
, |
||
A |
|
|
|
A12 |
A22 |
A32 |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
D |
A13 |
A23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A33 |
|
где
|
|
1 |
2 |
-1 |
|
= 1×(-3)×1+ 3× 2 × 2 + 2 ×(-1)×1- (-1)×(-3)×3 - 2 × 2 ×1-1× 2 ×1 = |
|
|
|||||
D = det A = |
|
2 |
-3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -3 +12 - 2 - 9 - 4 - 2 = -8 ¹ 0.
т.е. матрица A - невырожденная, и, значит, существует матрица A−1 . Находим:
A11 |
= (-1)1+1 |
|
-3 2 |
|
|
|
= -3 - 2 = -5 , A12 = (-1)1+2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
= -(2 - 6) = 4 , A13 |
= (-1)1+3 |
|
2 -3 |
|
= 2 + 9 = 11 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
A21 |
= (-1)2+1 |
|
|
|
2 |
-1 |
|
= -(2 +1) = -3 , A22 = (-1)2+2 |
|
1 |
|
-1 |
|
= 1+ 3 = 4 , A23 |
= (-1)2+3 |
|
1 |
|
2 |
|
= -(1- 6) = 5 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
A31 |
= (-1)3+1 |
|
2 -1 |
|
= 4 - 3 = 1 , |
A32 = (-1)3+2 |
|
1 |
|
-1 |
|
= -(2 + 2) = -4 , A33 = (-1)3+3 |
|
1 |
2 |
|
= -3 - 4 = -7 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
-3 2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-3 |
|
|
Тогда
|
|
|
|
-5 |
-3 |
1 |
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
A |
|
= - |
|
|
4 |
4 |
-4 |
. |
|
8 |
|||||||
|
|
|
|
11 |
5 |
-7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка.
|
|
|
-5 -3 |
1 |
1 2 |
-1 |
|
||||||
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A × A |
= - |
|
× |
4 4 |
-4 |
|
× |
2 |
-3 |
2 |
|
= |
|
8 |
|||||||||||||
|
|
|
11 5 |
-7 |
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 ×1- 3×2 +1×3 |
-5 ×2 - 3×(-3) +1×1 -5 ×(-1) - 3×2 +1×1 |
|
|
|
|
|
-8 |
||||||||||||||||||
= - |
1 |
× |
|
|
4 ×1+ 4 × 2 - 4 ×3 |
4 × 2 + 4 ×(-3) - 4 ×1 4 ×(-1) + 4 × 2 - 4 ×1 |
|
= - |
1 |
× |
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ×(-3) - 7 ×1 11×(-1) + 5 × |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
11×1+ 5 ×2 - 7 ×3 11× 2 + |
2 - 7 ×1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
= E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 -3 1 |
2 |
|
|
-5 ×2 - 3× 2 +1×8 |
|
|
|
-8 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = - |
|
|
|
× |
|
4 4 -4 |
× |
2 |
= - |
|
|
× 4 ×2 + 4 ×2 |
- 4 ×8 |
|
= - |
|
× |
-16 |
|
= |
2 |
. |
|
|||||||
8 |
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 5 -7 |
|
8 |
|
|
8 |
- 7 ×8 |
|
|
|
-24 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11× 2 + 5 × 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
-8 |
0 |
|
= |
|
|||
0 |
-8 |
|
|
|
|
1
Ответ: x = 2 .
3
б) Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить ее, используя метод Гаусса.
x1 - 2x2 + x3 = 6, |
|||
|
|
+ x2 |
- x3 = 2, |
2x1 |
|||
3x + 4x −3x = −2. |
|||
|
1 |
2 |
3 |
Решение.
Запишем систему в матричной форме
1 -2 |
1 |
|
x1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
1 -2 |
1 |
|
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
, |
|
|
|
, |
|
2 |
|
и |
A |
|
|
2 |
1 |
-1 |
|
2 |
|
- расширенная матрица. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
A = |
−1 |
x = x2 |
|
B = |
|
|
B = |
|
|
|||||||||||||
|
3 |
4 |
−3 |
|
x |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
-3 |
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получим A × x = B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема Кронекера – |
Капелли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы rang (A) равнялся рангу расширенной
матрицы этой системы rang (A B), т.е. rang (A) = rang (A B ).
Найдем ранг матрицы A ,
1 |
-2 |
1 |
|
A = |
2 |
1 |
-1 ~{ умножим 1 строку на -2 и прибавим к 2 строке, умножим 1 строку на |
|
3 |
4 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
||
-3 и прибавим к 3 строке }~ 0 |
5 |
-3 ~{ умножим 2 строку на -2 и прибавим к 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
-6 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|||
строке }~ 0 |
5 |
|
-3 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
В матрице A минор 3 порядка равен 0. В матрице A есть минор 2-го порядка |
|||||||||||||
отличный от нуля, например: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 -2 |
|
= 5 - 0 = 5 ¹ 0 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда rang (A) = 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Найдем ранг расширенной матрицы A |
|
B . |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
B = |
2 |
1 |
-1 |
|
2 ~{ умножим 1 строку на -2 и прибавим к 2 строке, умножим 1 |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
-3 |
|
-2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
||||||
строку на -3 и прибавим к 3 строке }~ |
0 |
5 |
-3 |
|
-10 |
~{ умножим 2 строку на -2 и |
|
0 |
10 |
-6 |
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
|
-2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
прибавим к 3 строке }~ |
0 |
5 |
-3 |
|
-10 |
~{ удалим 3 строку }~ 1 |
1 |
6 |
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
5 |
-3 |
-10 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В матрице A B все миноры 3 порядка равны 0. В матрице A B есть минор 2-го
порядка отличный от нуля, например:
1 -2 = 5 - 0 = 5 ¹ 0 . 0 5
Тогда rang (A) = 2
Следовательно, система линейных алгебраических уравнений, совместна, т.е. имеет решение.
Решим её методом Гаусса
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
1 |
-1 |
|
2 |
|
~{ умножим 1 |
строку на -2 и прибавим к 2 |
строке, умножим 1 строку на |
|
|
|
|||||||
|
3 |
4 |
-3 |
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
||||||
-3 и прибавим к 3 строке }~ |
0 |
5 |
-3 |
|
-10 |
~{ умножим 2 строку на -2 и прибавим к 3 |
|
0 |
10 |
-6 |
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
1 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
строке }~ 0 |
5 |
-3 |
|
-10 |
|
|
||||||
|
~{ удалим 3 строку }~ |
0 |
5 |
-3 |
|
-10 |
|
|||||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ранг матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 3-2=1 свободных переменных. Выберем в качестве свободных переменных x5 . Тогда общее решения системы равно:
x |
= |
1 |
|
x |
|
+ 2, |
|||
|
|
|
|||||||
|
1 |
5 3 |
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
x |
= |
x |
- 2. |
||||||
|
|||||||||
|
2 |
5 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
Ответ:
x1 = C + 2, |
|
|
= 3C - 2, |
x2 |
|
|
x = 5C. |
|
3 |
Задание 2. Заданы координаты точек A(2,1, 0) , B (3, −1, −4) и C (0, 2, −2). Требуется
найти:
1)прAC AB ;
2)площадь треугольника с вершинами в точках A, B, C .
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
× AB |
|||||||||||
1) Проекция вектора AB на вектор AC определяется по формуле прAC AB = |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем векторы AB и AC : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- 2, -1-1, -4 - 0} = {1, |
-2, -4} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
AB = {3 |
|
|
и |
|
|
|
AC = {0 - 2, 2 -1, -2 - 0} = {-2,1, -2}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-2)+ (-2)×1+ (-4)×(-2) = -2 - 2 + 8 = 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
AC |
× AB = 1× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
AC |
= |
|
(-2)2 +12 + (-2)2 = 4 +1+ 4 = 9 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, проекция вектора AB на вектор AC равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
прAC AB = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Площадь треугольника ABC определяется по формуле S = |
1 |
|
|
|
, где |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
× |
AB |
´ AC |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
AB ´ AC - векторное произведение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Векторное произведение векторов a = {x1 , y1 , z1} и b = {x2 , y2 , z2 } определяется по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
z |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a ´b = |
x1 |
|
y1 |
z1 |
= |
|
|
|
1 |
1 |
|
, |
|
1 |
1 |
|
, |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
z2 |
x2 |
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислим векторное произведение AB ´ AC : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
-2 |
-4 |
|
, |
|
|
-4 |
1 |
|
, |
|
1 |
-2 |
|
|
= {4 + 4,8 + 2,1- 4}= {8,10, -3}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB ´ AC = |
|
1 |
-2 |
|
|
|
-2 -2 |
|
|
-2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда площадь треугольника равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
|
|
= |
173 |
» 6, 58 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
S = |
× |
82 +102 + (-3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
64 +100 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Найти угол (в градусах) между прямой x -1 = y + 3 = z +1 и плоскость, |
||
2 |
-1 |
3 |
проходящей через точки M1 (1, 2, -1), M 2 (-1, 0, 4) и M3 (-2, -1,1).
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точки A1 (x1 , y1 , z1 ), A2 (x2 , y2 , z2 ) и A3 (x3 , y3 , z3 ) определяется по формуле:
|
x - x1 |
y - y1 |
|
z - z1 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 - x1 |
y2 - y1 |
z2 - z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x3 - x1 |
y3 - y1 |
z3 - z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (1, 2, -1), |
M 2 (-1, 0, 4) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M3 (-2, -1,1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x -1 y - 2 z +1 |
|
= 0 , |
|
|
|
x -1 y - 2 z +1 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
-1-1 0 - 2 4 +1 |
|
|
|
-2 |
|
|
-2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
-2 -1 -1- 2 1+1 |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
-3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вычислим определитель: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x -1 |
y - 2 |
|
z +1 |
|
|
|
|
= (x -1)× |
|
-2 5 |
|
+ (y - 2)× |
|
5 -2 |
|
+ (z +1)× |
|
-2 -2 |
|
= (x -1) |
× -2 ×2 - 5 ×(-3) + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
-2 |
-2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
-3 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 2 |
|
|
|
|
2 -3 |
|
|
|
-3 -3 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ (y - 2)× 5 ×(-3) |
- (-2)×2 + (z +1) |
× (-2)×(-3)- (-2)×(-3) = 11×(x -1)-11×(y - 2)+ 0 ×(z +1) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 11x -11y +11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение плоскости равно x − y +1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол между прямой и плоскостью, есть угол между направляющим вектором |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой a = {2, -1, 3} |
и нормальным вектором плоскости n = {1, -1, 0} , определяется по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n × a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
формуле sin α = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
× |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n × a = 1× 2 + (-1)×(-1)+ 0 ×3 = 3 ,
n = 12 + (-1)2 + 02 = 1+1+ 0 = 2 , a = 22 + (-1)2 + 32 = 4 +1+ 9 = 14 .
Следовательно, угол между прямой и плоскостью равен sin α = |
|
|
3 |
|
|
» 0, 567 , |
|
|
× |
|
|
||
2 |
14 |
|
α = arcsin 0, 567 » 34, 54 .
Задание 4. Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке.
x2 + 8x + 2 y + 20 = 0 .
Решение.
Выделим полный квадрат в уравнении:
x2 + 2 × 4x + 42 - 42 + 2 y + 20 = 0 ,
(x + 4)2 + 2 y + 4 = 0 , y = − 1 (x + 4)2 − 2 .
2
Это есть уравнение параболы с вершиной в точке (−4, −2) ветви направленные вниз. Построим кривую
Задание 5. Найти пределы функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||
|
|
|
|
x2 |
+ 4 - 2 |
|
5x3 + x2 - 6 |
|
|
|
x sin 2x |
|
|
1 |
||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
; б) lim |
|
|
|
; в) |
lim |
|
|
; г) lim |
cos |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
4 |
- x +12 |
|
- cos 4x |
x |
2 |
||||||||
|
+16 - 4 |
|||||||||||||||||||
|
x®0 x2 |
x®¥ |
|
|
x®0 1 |
x®¥ |
|
|
|
Решение
а) lim x2 + 4 - 2 ; x®0 x2 +16 - 4
0
Предел имеет неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на
0
( x2 + 4 + 2)( x2 +16 + 4). Тогда получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
- 2)( |
|
|
|
|
|
|
+ 2)( |
|
|
|
|
|
+ 4) |
|
(x2 + 4 - 22 )( |
|
|
+ 4) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
x2 + 4 |
x2 +16 |
|
x2 +16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
+ 4 - 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x®0 |
|
x2 +16 - 4 |
|
|
x®0 ( |
|
x2 +16 - 4)( |
|
x2 + 4 + 2)( |
|
|
x2 +16 + 4) |
x®0 |
(x2 +16 - 42 )( |
|
x2 + 4 + 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 ×( |
|
|
|
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= lim |
|
|
|
= lim |
|
x |
2 |
+16 |
|
+ 4 |
= |
|
0 |
2 |
+16 |
+ 4 |
= |
8 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x®0 |
|
|
x |
2 |
×( x |
2 |
+ 4 + 2) |
|
|
|
x®0 |
|
x |
2 |
+ 4 + 2 |
|
|
0 |
2 |
+ 4 + 2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim 5x3 + x2 - 6 ; x®¥ 2x4 - x +12
¥
Предел имеет неопределенность вида ¥ . Разделим числитель и знаменатель на переменную наибольшей степени, т.е. на x4 . Тогда получим
|
|
|
|
|
|
|
5x3 |
|
|
|
x2 |
6 |
5 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5x3 + x2 - 6 |
|
|
|
+ |
|
|
- |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
|
|
= |
0 + 0 - 0 |
|
|||||
lim |
= lim |
x4 |
|
x4 |
|
x4 |
|
= lim |
x |
x2 |
x4 |
= 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x®¥ 2x4 - x +12 |
x®¥ 2x4 |
|
- |
x |
|
+ |
12 |
|
x®¥ 2 - |
1 |
|
+ |
12 |
|
2 - 0 + 0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
x4 |
|
x4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
в) lim |
|
x sin 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x®0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
Предел имеет неопределенность вида . Используем формулу тригонометрии
0
представим 1- cos 4x = cos2 2x + sin2 2x - cos2 2x + sin2 2x = 2 sin2 2x . |
Тогда получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
x sin 2x |
|
|
= lim |
|
x sin 2x |
|
= lim |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
- cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x®0 1 |
|
|
x®0 2 sin2 2x |
x®0 2 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Используем эквивалентность бесконечно малых величин, при x → 0 имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2x 2x . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
x sin 2x |
|
|
= lim |
|
|
x |
= lim |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
- cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x®0 1 |
|
|
x®0 2 sin 2x |
|
|
x®0 2 × 2x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) lim |
cos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Предел имеет неопределенность вида |
. Приведем предел к второму |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1¥ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 x |
= e . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
замечательному пределу lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
× cos |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
+ cos |
|
|
|
-1 |
|
|
= lim |
|
1+ cos |
|
|
-1 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cos |
1 |
-1 |
= e . Значит |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
Согласно второму замечательному пределу |
lim |
1 |
+ |
cos |
|
|
−1 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
предел равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
× cos |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
lim x2 × cos |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
cos |
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
+ cos |
|
|
|
− |
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
→∞ |
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x®¥ |
|
x |
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем эквивалентность бесконечно малых величин, при x → ∞ имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
lim x |
2 × cos |
1 |
-1 |
lim x2 × - |
1 |
|
|
|
|
|
- |
1 |
× lim |
1 |
- |
1 |
×0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
−1 − |
|
|
|
|
|
. Тогда lim |
cos |
|
|
|
|
|
|
= e |
|
→∞ |
|
x |
|
|
|
= e |
→∞ |
|
|
2 x |
|
|
= e 2 |
|
→∞ x |
|
= e |
2 =1. |
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
2x |
4 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а) 2; |
|
б) 0; в) |
1 |
; г) 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 6. Исследовать функции на непрерывность и установить характер точек разрыва, если таковые имеются. В пункте б) дополнительно построить график функции.
|
|
|
|
x |
+ 4 |
|
|
|
2, |
x < 0 |
а) f (x) = |
|
|
|
|
|
; б) f (x) = cos x +1, |
0 ≤ x ≤ π |
|||
|
|
|
|
|||||||
x |
2 |
+ 4x |
||||||||
|
|
|
1− x, |
x > π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
||||
а) f (x) = |
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
+ 4x |
|
|
||||||
|
|
|
|
Функция непрерывна всюду, кроме точек x1 = −4 и x2 |
= 0 , в которых f (x) не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определена. Исследуем эти точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
В точке x1 = −4 , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x + 4 |
|
= |
lim |
−(x + 4) |
= |
lim |
|
−(x + 4) |
= − lim |
|
|
1 |
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→−4−0 x2 + 4x |
|
|
x→−4−0 x2 + 4x |
|
|
x→−4−0 x (x + 4) |
|
|
x→−4−0 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x + 4 |
|
|
= |
lim |
x + 4 |
= |
lim |
|
|
x + 4 |
= |
|
|
lim |
1 |
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x→−4+0 x2 + 4x |
|
|
x→−4+0 x2 + 4x |
|
x→−4+0 x (x + 4) |
|
|
|
x→−4+0 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x)− lim |
f (x) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция имеет разрыв I рода. Скачок равен |
|
|
|
= |
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В точке x2 |
= 0 , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−4−0 |
x→−4+0 |
|
|
|
4 4 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
x + 4 |
|
|
|
= lim |
|
|
x + 4 |
|
|
|
= −∞ |
и |
lim |
|
|
x + 4 |
|
|
= lim |
|
|
x + 4 |
|
= lim |
1 |
= +∞ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 4)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−0 x2 + 4x |
|
|
x→−0 |
|
|
|
|
|
|
x→+0 x2 + 4x x→+0 x (x + 4) |
x→+0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция имеет разрыв II рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) f (x) = cos x +1, |
0 ≤ x ≤ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x, |
x > π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В интервалах (−∞;0); |
(0;π ) и (π; +∞), функция задана аналитическими |
выражениями непрерывных функций. Точками разрыва могут быть только точки x = 0 и x =π . Вычислим пределы справа и слева в этих точках
|
а) при x = 0 , |
f (0) = cos 0 +1 =1+1 = 2 . Предел слева lim f (x)= lim 2 = 2 , предел справа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−0 |
x→−0 |
|
lim f (x)= lim (cos x +1) =1+1 = 2 . Так как все три значения совпали, то в точке x = 0 |
||||||||||
|
x→+0 |
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция непрерывна. |
|
|
|||||||||
|
б) при x =π , |
f (π ) = cosπ +1 = −1+1 = 0 . Предел слева |
|
||||||||
|
lim |
f (x)= lim (cos x +1) = −1+1 = 0 , предел справа lim |
f (x)= lim (1− x)=1−π . Левый и |
||||||||
|
x→π −0 |
x→π −0 |
|
|
|
|
|
|
x→π + |
0 |
x→π +0 |
правый пределы не равны, функция терпит разрыв I рода, скачок равен |
|||||||||||
|
lim |
f (x)− lim f (x) |
|
= |
|
0 −(1−π ) |
|
= π −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π −0 |
x→π +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем чертеж