18. Понятие многогранника.
Многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Вершины и стороны многогранников являются вершинами и ребрами многогранников. Они образуют пространственную сетку. Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называют выпуклым, все его грани – выпуклые.
Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники и их разновидности.
Многогранник, две грани которого n-угольники в параллельных плоскостях, а остальные n-граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой. Многогранники являются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.
Многогранник, у которого одна из граней – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамидой. Грань–многоугольник называют основанием призмы, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется особой вершиной пирамиды (обычно, просто вершиной).
Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной основанию, то получим усеченную пирамиду.
Многогранник называется метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками. К ним относятся куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Под изображением многогранников на чертеже будем понимать изображение ограничивающей его многогранной поверхности, т.е. изображение совокупности составляющих ее многогранников. Графически простую многогранную поверхность удобно задавать проекциями ее сетки.
Построение проекций:
Построение проекций многогранников
Построение проекции многогранника на некоторой плоскости сводится к построению проекций точек. Например, проецируя пирамиду SABC на пл.я2 (рис. 256, слева), мы строим проекции вершин S, А, В и С и, как следствие, проекции основания ABC, граней SAB, SBC, SAC, ребер SA, SB и др.
Также, проецируя трехгранный угол ') с вершиной S (рис. 256, справа), мы, помимо вершины S, берем на ребрах угла по одной точке (К, М, N) и проецируем их
на пл. я2; в результате получаем проекции ребер и граней (плоских углов) трехгранного угла и В целом самый угол.
На рис. 257 изображены многогранное тело ACBB1D... (т. е. часть пространства, ограниченного со всех сторон плоскими фигурами — многоугольниками) и его проекция на пл. я1 — фигура A'C'F [E[DID'E'F'. Каждая точка, расположенная внутри очерка этой фигуры (т. е. линии, ограничивающей ее), является проекцией по крайней мере двух точек поверхности этого тела. Например, точка с двойным обозначением М' и N' служит проекцией точек М и N, лежащих на общей для них проецирующей прямой.
Точка, лежащая на самом очерке проекции, является проекцией или одной точки (например, А' есть проекция точки А), или нескольких, а иногда и множества точек (например, В' является проекцией не только точки В, но и множества точек грани ABC, расположенных на проецирующей прямой В В').
Проецирующие прямые, проходящие через все точки очерка проекции, в своей совокупности образуют проецирующую поверхность, внутри которой, касаясь ее, заключено данное тело. Для тела, изображенного на рис. 257, проецирующая поверхность состоит из плоскостей о^, а2, а3 и т. д. Линия касания проецирующей поверх-
') В данном случае выпуклый, т. е. такой, который весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней, неограниченно продолженной.
Рис. 256
Рис. 256
ности и тела называется контуром тела по отношению к выбранной плоскости проекций. На рис. 257 таким контуром служит ломаная ACF1E1D1DEFA 1).
Проецирующей поверхностью при параллельном проецировании является, как это указывалось в § 1, поверхность цилиндрическая. Если контур тела по отношению к плоскости проекций содержит прямолинейные отрезки, то проецирующая поверхность для каждого такого участка обращается в плоскую.
Проведенная на проекции прямая В'В{ является проекцией ребра BBV видимого по отношению к пл. п1. Показ на проекции тела всех видимых его ребер является обязательным.
Проекция отрезка FF1 получается внутри очерка проекции; она показана штриховой линией, так как, по условиям видимости, точки отрезка FFi при проецировании на пл. невидимы.
Построение проекции гранной поверхности также сводится к построению проекций некоторых точек и прямых линий этой поверхности. Проекция поверхности, ограничивающей какое-либо тело, имеет очерк, общий с очерком проекции этого тела. В случае изображения бесконечно простирающейся поверхности отделяют линиями некоторую ее часть и тем устанавливают условный контур по отношению к плоскости проекций.
Многогранник называется правильным, если его грани - правильные многоугольники, причем в каждой его вершине сходится равное число таких многоугольников.
Заметим, что число многоугольников, сходящихся в одной вершине - 3 или больше. Возьмем три пятиугольника - они действительно образуют уголок "шапочку". Три шестиугольника уже лежат в плоскости, а вот три семиугольника - не влезут. =>грани правильных многогранников не более, чем шести угольны. Т.е. правильный многогранник может быть с гранями треугольными, квадратными и пятиугольными. Причем в одной вершине может сходиться три квадрата или три пятиугольника, или три, четыре или пять треугольников.
Вариант первый. Грани многогранника - квадраты (в каждой вершине сходится три квадрата). Пусть число вершин такого многогранника - В. => число граней 3В/4. Заметим, что в каждой вершине ребер сходится столько же, сколько и граней. Число ребер такого многогранника 3В/2. Мы знаем, что В+Г-Р=2. Составим уравнение: В+3/4 В-3/2 В=2. В=8. Т.е. у такого многогранника 8 вершин, 6 граней и 12 ребер. Т.е. это куб.
Вариант второй. Грани многогранника правильные пятиугольники (в каждой вершине сходится по три пятиугольника). Г=3В/5. Р=3В/2. В+Г-Р=2. В=20. Г=12. Р=30. Это додекаэдр.
Вариант третий. Треугольники, по три. Г=3В/3=В. Р=3В/2. =>В=4=Г, Р=6. Это тетраэдр.
Вариант четвертый. Треугольники, по четыре. Г=4В/3, Р=4В/2=2В. => В=6, Г=8, Р=12. Это октаэдр.
Вариант пятый. Треугольники, по пять. Г=5В/3, Р=5В/2 => В=12, Г=20, Р=30. Это икосаэдр.
Других правильных многогранников нет.