- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
Элементы динамики сплошных сред
1.14.1. Неразрывность струи
Помимо движения твердых тел механика рассматривает также движение сплошных сред – жидкостей и газов. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с вектором скорости . Эти линии называютлиниями тока. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Если вектор скорости в каждой точке остается постоянным, то течение жидкости называют стационарным.
Рис. 1.72
Рассмотрим тонкую трубку тока с переменным поперечным сечением S (рис. 1.72). Будем считать скорость жидкости постоянной в пределах одного сечения. За время dt через сечение S1 пройдут частицы, заключенные в объеме , а через сечениеS2 частицы, заключенные в объеме . Если жидкость несжимаема, тои.
Следовательно, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока одинакова. Это заключение представляет собой теорему о неразрывности струи.
Уравнение Бернулли
Представим себе жидкость, в которой слои, перемещаясь друг относительно друга, не испытывают трения. Такую жидкость называют идеальной.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2 (рис. 1.72). За время dt сечение S1 переместится в положение , а сечениеS2 в положение . Этот процесс эквивалентен тому, что окрашенный объем жидкостивошел в неокрашенную область слева, а вышел справа (). Согласно уравнению неразрывности оба эти объема равны (). В неокрашенной области никаких изменений не происходит, поэтому изменение энергии жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, равно разности энергий закрашенных областей.
Энергия левой выделенной области складывается из кинетической и потенциальной энергий:
Энергия правой закрашенной области:
Приращение энергии:
.
Это приращение энергии происходит благодаря работе сил давления и, действующих соответственно на левую и правую выделенные области. Для левой области направление силы сопадает с напрвлением перемещения, и работа положительна:
Для правой области направление силы противоположно напрвлению перемещения, работа отрицательна:
Полная работа сил давления:. Приравняв эту величину к приращению механической энергииdW и сократив на dV, получим:
или
.
Отсюда следует, что
Последнее соотношение было получено в 1738 году швейцарским физиком Бернулли и носит его имя. Оно выражает закон сохранения энергии для стационарно текущей идеальной жидкости. Величину p называют статическим давлением, динамическим давлением, а гидростатическим давлением.
Для горизонтальной трубки тока и уравнение Бернулли принимает вид:
Здесь сумму статического и динамического давлений называют полным давлением. Согласно уравнению Бернулли полное давление в горизонтальной трубке тока есть величина постоянная. Отсюда следует, что в узких местах трубки тока, где скорость течения выше, статическое давление р будет меньше, а в широких местах, где скорость ниже, статическое давление, напротив, будет больше. Это явление положено в основу работы водоструйного насоса. Струю воды подают в трубку, выходящую в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, статическое давление в котором меньше атмосферного. Это сужение имеет выход в камеру, из которой нужно откачать воздух или другой газ. Благодаря пониженному давлению в трубке, газ будет засасываться в нее и уноситься потоком воды.