- •Введение
- •Модуль I основы механики
- •Движение материальной точки
- •Механическое движение
- •Скорость
- •Ускорение
- •Движение по окружности
- •Виды движений материальной точки
- •Равномерное движение
- •Равномерное прямолинейное движение
- •1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.
- •Равноускоренное движение с изменяющейся тангенциальной составляющей ускорения
- •Прямолинейное равноускоренное движение
- •Виды движения твердого тела
- •Динамика материальной точки. Законы ньютона
- •1.7.1. Первый закон Ньютона
- •1.7.2. Второй закон Ньютона
- •1.7.3. Третий закон Ньютона
- •Движение системы тел
- •1.8.1. Закон изменения и сохранения импульса системы тел
- •1.8.2. Центр инерции системы тел. Центр масс
- •1.8.3. Уравнение движения центра масс
- •Движение тела переменной массы
- •Силовое поле
- •1.9.1. Центральное силовое поле
- •1.9.2. Однородное силовое поле
- •Энергия. Работа сил поля
- •1.10.1. Механическая работа. Мощность
- •1.10.2. Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы
- •1.10.3. Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Потенциальная энергия упругих сил
- •Градиент скалярного поля
- •Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
- •Потенциальная энергия взаимодействия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Потенциальная кривая
- •Соударение тел
- •Неинерциальные системы отсчета
- •1.11.1. Силы инерции
- •1.11.2. Принцип эквивалентности
- •1.11.3. Сила тяжести, вес тела, невесомость
- •Элементы теории относительности
- •1.12.1. Постулаты Эйнштейна
- •1.12.2. Преобразования Лоренца
- •1.12.3. Относительность одновременности
- •1.12.4. Относительность длин
- •1.12.5. Интервал
- •1.12.6. Релятивистский закон сложения скоростей
- •1.12.7. Зависимость массы от скорости
- •1.12.8. Основной закон релятивисткой механики
- •1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •1.13.1. Момент силы
- •1.13.1.1. Момент силы относительно точки
- •1.13.1.2. Момент пары сил
- •1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения
- •Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)
- •Момент импульса материальной точки
- •1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
- •1.13.2.3. Момент инерции кольца
- •1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
- •1.13.2.5. Момент инерции однородного стержня
- •1.13.2.6. Теорема Штейнера
- •Свободная ось вращения. Главные оси инерции
- •Работа, совершаемая при вращательном движении
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Основной закон динамики вращательного движения
- •Уравнение моментов
- •Закон сохранения момента импульса
- •Гироскопы
- •Элементы динамики сплошных сред
- •1.14.1. Неразрывность струи
- •Уравнение Бернулли
- •Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах
1.13.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела. Разобьём тело на систему материальных точек с массами . Вектор момента импульсаi-й материальной точки относительно центра масс С равен: , а модуль этого вектора.
Найдем проекцию вектора на ось вращенияz: . Из заштрихованного треугольника (рис. 1.57) видно, что, где– расстояние отi-й точки до оси вращения (радиус вращения). Тогда и, учитывая, что, где – угловая скорость вращения тела, получим .
Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен . Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, тогда.
Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты
Рис. 1.57.
их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:
.
Суммирование проводится по всем элементарным массам , на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы, тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения, и задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:
.
Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:
.
Рис. 1.58.
Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов иматериальных точек, симметричных относительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.58). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости. Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру массС будет равен
.
1.13.2.3. Момент инерции кольца
Вычислим моменты инерции некоторых простых тел. Найдем момент инерции однородного тонкостенного полого цилиндра (кольца) (см. рис. 1.59) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии . Разобьем кольцо на элементарные массыdm. По определению момент инерции . Ввиду малой толщины стенок цилиндра, можно считать, что все элементарные массы находятся на одинаковом расстоянииR от оси . То есть,r = R = const., тогда . Так какесть масса кольца, следовательно, момент инерции кольца относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр масс
Рис. 1.59
I = mR2.
1.13.2.4. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)
Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси . Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщиныи радиуса. На рис. 1.60 показан только один такой цилиндр (выделен темным цветом). Момент инерции каждого полого цилиндра, гдеdm – масса элементарного цилиндра. Введем понятие поверхностной плотности массы цилиндра , где– площадь поверхности основания цилиндра. Тогда элементарная масса, где– площадь поверхности элементарного кольца, т. е.. Момент инерции сплошного цилиндра
Рис. 1.60
.
Вынесем за знак интеграла:
.
Учитывая, что , получим
.
То есть момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси:
.
Для полого цилиндра момент инерции равен , где R1 и R2 – его внешний и внутренний радиусы.