- •Оглавление
- •ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
- •Тема 1 Метод эквивалентных преобразований
- •Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
- •Тема 3 Метод эквивалентного генератора
- •ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
- •Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
- •Тема 2 Символический метод расчета
- •Тема 3 Анализ резонансных режимов
- •Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью
- •ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
- •Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС
- •Тема 2 Расчет цепей с несимметричной системой ЭДС
- •Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока
- •Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •ГЛАВА 5 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •ГЛАВА 7 МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
- •ГЛАВА 8 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
- •ГЛАВА 9 ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема1 Расчет действующих значений токов и напряжений
Изучение этой темы предоставляет возможность оперировать показаниями измерительных приборов электромагнитной и электродинамической систем, а также выполнять расчеты при последовательном или параллельном соединении приемников без использования комплексных чисел.
Занятие1
Цели занятия:
1.Научиться строить векторные диаграммы для цепей с последовательным и параллельным соединением приемников.
2.Научиться применять закон Ома для действующих значений.
3.Научиться вычислять потребляемую схемой мощность.
Рассмотрим первую целевую задачу занятия.
Действующим значением тока I считают такой постоянный ток, который производит тот же тепловой эффект, что и реальный переменный ток. Действующие значения обозначают заглавными печатными буквами:
I,U, E .
Законы Кирхгофа для действующих значений не выполняются. Оперировать действующими значениями позволяют прямоугольные треугольники, которые получаются при построении векторных диаграмм.
Схема замещения цепи с последовательным соединением приемников изображена на рис. 2.1.
I |
R |
X L |
|
|
UL |
|
|
||
|
UR |
|
|
|
U |
|
X |
|
|
|
C |
|||
|
|
UC |
|
Рис. 2.1
Построим векторную диаграмму. Построение начнем с вектора величины, общей для данной цепи. При последовательном соединении элементов такой величиной является ток. Вид диаграммы зависит от характера цепи. Построение векторной диаграммы для цепи, имеющей активно-индуктивный характер, т. е.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-53- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
X L > XC и X > 0, показано на рис. 2.2.
Входное напряжение складывается из напряжений на трех идеальных элементах при учете сдвига фаз. Напряжение на резисторе совпадает с током по фазе. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, на емкостном – отстает на 90°.
Полученный при построении векторной диаграммы треугольник ОАВ изображен на рис. 2.3.
|
|
|
UL |
|
|
|
||
|
|
|
UC |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
UL −UC |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
ϕ |
A |
|
0 |
ϕ |
A |
|
|
|
UR |
||||||
|
|
|
UR |
I |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
Рис. 2.3 |
|
|
Угол ϕ = ψu − ψi – угол сдвига фаз тока и полного напряжения.
Треугольник ОАВ дает возможность оперировать действующими значениями:
U= UR2 +(UL −UC )2 ,
ϕ= arctg UL −UC ,
UR
U R =U cosϕ, U L −UC =U sin ϕ.
Схема замещения цепи с параллельным соединением приемников изображена на рис. 2.4.
I |
|
|
0 |
A U |
|
I |
I |
IR |
|||
|
|||||
ϕ |
|||||
IR |
L |
C |
|
|
U |
R |
X L |
XC |
I |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
IC |
IL |
|
Рис. 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.5 |
|
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-54- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
Построение векторной диаграммы начинаем с вектора напряжения, которое является одинаковым для всех элементов схемы. Векторная диаграмма для случая, когда X L < XC , приведена на рис. 2.5.
Ток в неразветвленной части схемы складывается из токов трех параллельных ветвей при учете сдвига фаз. Ток через резистор совпадает с напряжением по фазе, через индуктивный элемент отстает от напряжения на 90°, ток через конденсатор опережает его на 90°.
Полученный при построении векторной диаграммы треугольник токов ОАВ изображен на рис. 2.6.
IR A
0 ϕ
IL − IC
I
B
Рис. 2.6
Из свойств треугольника токов получаем следующие соотношения, позволяющие оперировать действующими значениями:
I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
IR2 + (IL − IC )2 |
|
|
|
|||||||||||
|
ϕ = arctg |
|
IL − IC |
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
IR |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
IR = I cosϕ; |
|
I L − IC |
|
= I sin ϕ. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Перейдем к рассмотрению второй целевой задачи. |
|
|
I , |
|||||||||||
Если разделить все стороны треугольника напряжений на ток |
||||||||||||||
получим подобный ему треугольник сопротивлений (рис. |
2.7), где |
Z – |
||||||||||||
полное сопротивление цепи; |
R – активное сопротивление; X – реактивное |
|||||||||||||
сопротивление; X L = L ω |
– индуктивное |
|
сопротивление, |
XC = |
1 |
– |
||||||||
|
C ω |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
емкостное сопротивление.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-55- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
U |
= Z |
|
UL −UC |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
= |
|
X L − XC |
|
= X |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
I |
|
||||||
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UR |
= R |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
|
|
|
Закон Ома для действующих значений при последовательном соединении приемников примет вид
U = Z I .
Из свойств треугольника сопротивлений получаем соотношения
Z= R2 + X 2 = R2 + (X L − XC )2 ;
ϕ= arctg XR ;
R = Z cosϕ; X = Z sin ϕ.
Полное сопротивление любого количества последовательно соединенных приемников
Z = (∑R)2 +(∑X L −∑XC )2 .
UIR =G
ϕ
|
|
|
I |
− I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
|
L |
C |
|
= B |
|
|
|
|
||||
|
=Y |
U |
|
|
|||
|
U |
|
|
|
|
Рис. 2.8
Разделив все стороны треугольника токов на напряжение, получим подобный ему треугольник проводимостей (рис. 2.8), где Y – полная
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-56- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
проводимость; G – активная проводимость; B = BL − BC – реактивная проводимость; BL – индуктивная проводимость; BC – емкостная проводимость.
Закон Ома для действующих значений при параллельном соединении примет вид
I = Y U .
Из свойств треугольника проводимостей получаем соотношения
Y = G2 + B2 ;
G= Y cosϕ; B = Y sin ϕ;
ϕ= arctg GB
Полная проводимость любого количества параллельно соединенных приемников
Y = (∑G)2 +(∑BL −∑BC )2 .
Перейдем к рассмотрению третьей целевой задачи.
Умножением всех сторон треугольника напряжений на ток получаем треугольник мощностей (рис. 2.9).
U I = S |
UL −UC I =Q |
|
ϕ
UR I = P
Рис. 2.9
Активная мощность
P =UR I = R I 2 =U I cosϕ
характеризует энергию, которая передается в одном направлении от генератора к приемнику. Она связана с резистивными элементами.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-57- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
Реактивная мощность Q = UL −UC I = X I 2 =U I sinϕ характеризует
часть энергии, непрерывно циркулирующей в цепи и не совершающей полезной работы. Она связана с реактивными элементами.
Полная (кажущаяся) мощность S =U I = P2 +Q2 .
Активную мощность измеряют в ваттах (Вт), реактивную – в вольтамперах реактивных (вар), полную – вольтамперах (В А).
Задача1
Вычислить показание вольтметра, подключенного к зажимам индуктивной катушки, схема замещения которой представлена на рис. 2.10, если амперметр показывает ток I =10 А, R = 3 Ом, X L = 4 Ом.
A I
R
U V
X L
Рис. 2.10
Решение
1. Вольтметр показывает действующее значение входного напряжения U , которое можно вычислить по закону Ома:
U= Z I .
2.Полное сопротивление схемы
Z = R2 + X L2 = 32 + 42 =5 Ом.
Тогда напряжение на входе схемы
U = 5 10 = 50 В.
Входное напряжение можно вычислить другим путем, используя треугольник напряжений, полученный при построении векторной диаграммы
(рис. 2.11):
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-58- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
U UL I
UR
Рис. 2.11
U = UR2 +UL2 = (R I )2 + (X L I )2 =
= 302 + 402 =50 В.
Следующие задачи решите самостоятельно.
Задача2
В схеме на рис. 2.12 первый вольтметр показывает напряжение 30 В, второй – 90 В, третий – 50 В.
Определить напряжение, которое показывает вольтметр на входе схемы.
Ответ: U = 50 В.
|
V1 |
V2 |
|
|
|
R |
X L |
|
|
U |
UR |
UL |
XC V3 |
|
UC |
||||
V |
Рис. 2.12
Задача3
В схеме на рис. 2.13 первый амперметр показывает ток 6 А, второй – 20 А, третий – 12 А. Определить ток, который показывает амперметр на входе схемы.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-59- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
I A
|
A1 |
A2 |
A3 |
|
|
|
I |
|
|
U |
I |
2 |
I |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
R |
X L |
|
XC |
|
|
|
||
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
Ответ: I =10 А.
Задача4
Определить, можно ли подключить цепь, схема замещения которой изображена на рис. 2.14, к сети с напряжением U = 66 В и частотой f = 50
Гц, если напряжения Uab |
|
и Ubс не |
должны превышать номинального |
|||||
Uн =120 В, R1 = 8 Ом, R2 =3 Ом, |
|
|
|
|
||||
L = 0,1576 Гн, C = 64,34 мкФ. |
|
|
|
|
||||
a |
I |
|
R |
|
X L |
|
b |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XC |
|
|
|
|
||
|
|
|
R2 |
|
|
|||
c |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Решение
1. По закону Ома для действующих значений
Uаb = Zаb I ; Ubс = Zbc I .
|
|
|
2. Полное |
|
|
|
сопротивление |
|
Z |
аb |
= |
R2 + X |
2 |
. |
Индуктивное |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
L |
|
|
|
|
|
|||
сопротивление |
X L = L ω= L 2π f = 0,1576 2 π 50 = 49,5 |
Ом. |
Подставив |
||||||||||||||||||||||||||
значения R |
|
и X |
L |
, получим Z |
аb |
= |
|
82 |
+ 49,52 |
|
= 50,1 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Полное сопротивлениеZ |
bс |
= |
|
R2 |
+ X 2 |
. |
Емкостное |
сопротивление |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
= |
1 |
= |
|
1 |
|
|
= |
106 |
|
|
= 49,5 Ом. |
Подставив значения |
R |
и X |
C |
, |
|||||||||||
|
|
C 2π f |
64,34 2π 50 |
||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
Cω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
получим Zbс = |
32 + 49,52 |
= 49,6 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-60- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
3. Ток в цепи по закону Ома
I= UZ .
4.Полное сопротивление схемы
Z = (R1 + R2 )2 + (X L − XC )2 = (8 +3)2 +(49,5 − 49,5)2 =11 Ом.
Тогда |
ток |
I = 66 = 6 |
А. |
Напряжение Uаb = 50,1 6 = 300,6 В, |
||
|
Ubс |
11 |
|
|
|
|
напряжение |
= 49,6 6 = 297,5 |
В. Следовательно, |
такое |
подключение |
||
сделать нельзя, так как значения напряжений Uаb |
и Ubс |
значительно |
||||
превышают номинальное. |
|
|
|
|
||
|
|
|
Задача5 |
|
|
|
Вычислить ток в индуктивной катушке, подключенной к сети |
||||||
переменного |
тока с напряжением U = 220 В, если потребляемая мощность |
|||||
P = 440 Вт, |
коэффициент мощности cosϕ = 0,5. Какой ток будет в этой |
катушке при подключении ее к сети постоянного тока того же напряжения?
Решение
1. Вычислим ток в катушке при подключении ее к сети переменного напряжения, воспользовавшись формулой активной мощности
P =U I cosϕ.
Отсюда
I~ = U P = 440 = 4 А.
cosϕ 220 0,5
2.Ток в катушке при подключении ее к сети постоянного напряжения можно найти по закону Ома I_ = UR , так как в схеме замещения (рис. 2.10)
остается только резистивный элемент (ω= 0, X L = L ω= 0).
3. Вычислим активное сопротивление из формулы активной мощности
P = R I~2 : |
P |
|
440 |
|
|
|
R = |
= |
= 27,5 |
Ом. |
|||
I~2 |
16 |
|||||
|
|
|
|
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-61- |
ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений
Тогда I− = 27220,5 = 8 А.
Следующую задачу решите самостоятельно.
|
Задача6 |
|
Вычислить |
параметры схемы |
замещения индуктивной катушки |
(рис. 2.10), если |
при подключении |
к сети с напряжением U =120 В и |
частотой f = 50 Гц ток I =100 А, активная мощность P =10000 Вт.
Пояснение к решению
Параметрами индуктивной катушки являются активное сопротивление R и индуктивность L .
Ответ: R =1 Ом, L = 0,002 Гн.
Для самоконтроля решите задачи 7–10.
Задача7
В цепь синусоидального тока (рис. 2.15) включены три амперметра электромагнитной системы. Определить показание амперметра А2 , если
амперметры А и А1 показывают соответственно I =10 А и I1 = 6 А.
R
A1
A XC
A2
Рис. 2.15
Ответ: I2 =8 А.
Задача8
Определить ток I и входное напряжение U схемы на рис. 2.16, если напряжение на емкостном элементе UC = 70,7 В, R =100 Ом, C = 2 мкФ,
ω= 5000 с-1.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-62- |