2. Практическая часть
Задание 3. Принятие оптимальных решений в задачах типа JA в условиях полной определенности (критерии однородны)
Организации требуется произвести оснащение производства новым оборудованием. Необходимое оборудование выпускается тремя фирмами. Принято решение, что необходимо производить отбор требуемого оборудования по двум частным критериям:
1) производительность, измеряемая в денежных единицах;
2) стоимость, измеряемая в денежных единицах;
Посредством экспериментальных наблюдений установлены значения частных критериев функционирования оборудования всех трех фирм (таблица 6).
Таблица 6 - Значения частных критериев
|
Варианты оборудования (стратегии решения) |
Частные критерии | |
|
Производительность, д.е. |
Стоимость, д.е. | |
|
Оборудование фирмы А (стратегия а1) |
П1 = 7 |
С1 = 9 |
|
Оборудование фирмы В (стратегия а2) |
П2 = 4 |
С2 = 5 |
|
Оборудование фирмы С (стратегия а3) |
П3 = 5 |
С3 = 7 |
Если бы задача была однокритериальной, то ее решение достаточно просто (задача тривиальна). Пусть имеется только один критерий – производительность. Из физического смысла этого критерия следует, что чем выше производительность оборудования, тем оно более привлекательно и , следовательно, решение было бы однозначным – оборудование фирмы А (стратегия а1).
При использовании же даже двух критериев задача перестает быть тривиальной – чем выше производительность, тем выше стоимость оборудования (таблица 6 ).
Пусть имеется ограничение на стоимость – за оборудование организация может заплатить не более 7 у.е., а эксперты считают, что наиболее важным является критерий производительности. Тогда по критерию пригодности отпадает стратегия а1 и выбор необходимо осуществить только из оборудования фирм В и С.
Воспользуемся правилом главного критерия – max Пi (Ci ≤ Ciдоп = 7) . В соответствии с этим правилом мы должны выбрать стратегию а3 (оборудование фирмы С) .
Воспользуемся правилом обобщенного (аддитивного) критерия
На основе экспертных оценок установлены весовые коэффициенты критериев:
λ1 = 0.6 (со знаком «+», так как этот частный критерий (производительность) подлежит максимизации);
λ2 = - 0.4 (со знаком «-», так как этот частный критерий (стоимость) подлежит минимизации) .
Внимание! Сумма весовых коэффициентов, взятых с положительным знаком, должна быть равна 1.
Для данной задачи:
Далее
действуем так, как если бы задача была
сформулирована со скалярным критерием.
Таким образом, так как
,то
по обобщенному аддитивному критерию
при этих
исходных данных необходимо
выбрать стратегию а2
(оборудование фирмы В).
Вместе с тем, необходимо помнить, что для применения такого обобщенного критерия необходимо выполнение двух условий:
1) должна иметься возможность количественной оценки важности критериев (назначения λi) ;
2) частные критерии должны быть однородными (иметь одинаковую размерность).
Условия данной задачи удовлетворяют обоим этим требованиям и поэтому применение такого критерия правомочно.
Задание 4. По условиям задания 3 (таблица 6) и с учетом значений коэффициентов важности частных критериев, назначенных экспертами (таблица 7), принять оптимальное решение по оснащению организации оборудованием одной из фирм, используя аддитивное и мультипликативное правила свертки обобщенных критериев.
Таблица 7 –Ззначения коэффициентов важности
|
Вариант (номер по журналу) |
λ1 |
λ2 |
|
1, 16 |
0,62 |
0,38 |
|
2, 17 |
0,64 |
0,36 |
|
3, 18 |
0,66 |
0,34 |
|
4, 19 |
0,68 |
0,32 |
|
5, 20 |
0,70 |
0,30 |
|
6, 21 |
0,72 |
0,28 |
|
7, 22 |
0,74 |
0,26 |
|
8, 23 |
0,76 |
0,24 |
|
9, 24 |
0,78 |
0,22 |
|
10, 25 |
0,80 |
0,20 |
|
11, 26 |
0,82 |
0,18 |
|
12, 27 |
0,84 |
0,16 |
|
13, 28 |
0,86 |
0,14 |
|
14, 29 |
0,88 |
0,12 |
|
15, 30 |
0,90 |
0,10 |
Задание 5. Принятие оптимальных решений в задачах типа JA в условиях полной определенности (критерии неоднородны)
Организации требуется произвести оснащение производства новым оборудованием. Необходимое оборудование выпускается тремя фирмами. Принято решение, что необходимо производить отбор требуемого оборудования по четырем частным критериям:
1) производительность, измеряемая в денежных единицах;
2) стоимость, измеряемая в денежных единицах;
3) энергоемкость, измеряемая в условных единицах;
4) надежность, измеряемая в условных единицах.
Посредством экспериментальных наблюдений установлены значения частных критериев функционирования оборудования всех трех фирм (таблица 8).
Таблица 8 - Значения частных критериев
|
Варианты оборудования (стратегии решения) |
Частные критерии | |||
|
Производи-тельность, д.е. |
Стоимость, д.е. |
Энергоемкость, у.е. |
Надежность, у.е. | |
|
Оборудование фирмы А (стратегия а1) |
П1 = 7 |
С1 = 9 |
Э1 = 9 |
Н1 = 0,99 |
|
Оборудование фирмы В (стратегия а2) |
П2 = 4 |
С2 = 5 |
Э2 = 11 |
Н2 = 0,92 |
|
Оборудование фирмы С (стратегия а3) |
П3 = 5 |
С3 = 7 |
Э3 = 4 |
Н3 = 0,96 |
На основе экспертных оценок установлены весовые коэффициенты критериев:
λ1 = 0.4 (со знаком «+», так как этот частный критерий (производительность) подлежит максимизации);
λ2 = - 0.3 (со знаком «-», так как этот частный критерий (стоимость) подлежит минимизации);
λ3 = - 0.1 (со знаком «-», так как этот частный критерий (энергоемкость) подлежит минимизации);
λ4 = 0.2 (со знаком «+», так как этот частный критерий (надежность) подлежит максимизации).
Из анализа исходных данных (таблица 3) следует, что применить напрямую метод обобщенного (интегрального) критерия для решения полноразмерной задачи нельзя, так как не выполняется второе условие (частные показатели не однородны – имеют разную размерность).
Такие задачи решаются в два этапа:
1) этап нормализации критериев;
2) собственно этап свертки критериев.
Под нормализацией критериев понимается такая последовательность действий (процедура), при которой все частные критерии сводятся к единому безразмерному масштабу измерения.
В настоящее время разработано и используется несколько процедур нормализации. Выбор той или иной определяется используемым принципом. При этом, как правило, используют два принципа:
- принцип максимальной эффективности;
- принцип минимальной потери.
При использовании принципа максимальной эффективности нормализованные критерии определяются из соотношений:
а)
,
где aij – значение частного критерия (для максимизируемых критериев):
aj+ - максимальное значение данного частного критерия;
б)
,
где aij – значение частного критерия (для минимизируемых критериев):
aj+ - максимальное значение данного частного критерия.
Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает максимальное значение функции цели
.
При использовании принципа минимальной потери нормализованные критерии определяются из соотношений:
а)
,
где aij – значение частного критерия (для максимизируемых критериев):
aj+ - максимальное значение данного частного критерия;
б)
,
где aij – значение частного критерия (для минимизируемых критериев):
aj+ - максимальное значение данного частного критерия.
Решение. Воспользуемся принципом максимальной эффективности.
1. Подготовительный этап. Определим максимальные значения частных критериев. Для этого в таблице 3 выберем в каждом столбце максимальный элемент:
Пmax = 7; Cmax = 9; Эmax = 11; Н3 = 0,99.
2. Этап нормализации критериев. Так как критерии неоднородны (имеют разную размерность), выполним процедуру нормализации критериев .
2.1 Критерии, требующие максимизации (производительность и надежность):
2.2 Критерии, требующие минимизации (стоимость и энергоемкость):
3. Этап свертки критериев. Рассчитаем значения обобщенной функции цели:
Вывод: так как обобщенная функция цели максимальна для стратегии а1, то необходимо при использовании принципа максимальной эффективности выбрать оборудование фирмы А.
Задание 6. По аналогии и с исходными данными задания 5 принять оптимальное решение, используя оба принципа (максимальной эффективности и минимальной потери) о выборе оборудования, если коэффициенты важности частных критериев заданы таблицей 9.
Сравнить полученные результаты при использовании разных принципов и сделать выводы.
Таблица 9 – Значения коэффициентов важности
|
Вариант (номер по журналу) |
λ1 |
λ2 |
λ3 |
λ4 |
|
1, 16 |
0,38 |
0,22 |
0,12 |
0,28 |
|
2, 17 |
0,40 |
0,24 |
0,14 |
0,22 |
|
3, 18 |
0,42 |
0.26 |
0,16 |
0,16 |
|
4, 19 |
0,44 |
0.28 |
0,18 |
0,10 |
|
5, 20 |
0,46 |
0.30 |
0,20 |
0,04 |
|
6, 21 |
0,28 |
0.32 |
0,22 |
0,18 |
|
7, 22 |
0,25 |
0.30 |
0,24 |
0,21 |
|
8, 23 |
0,32 |
0.28 |
0,26 |
0,14 |
|
9, 24 |
0,34 |
0.26 |
0,28 |
0,12 |
|
10, 25 |
0,26 |
0.24 |
0,30 |
0,20 |
|
11, 26 |
0,30 |
0.22 |
0,32 |
0,16 |
|
12, 27 |
0,34 |
0.20 |
0,24 |
0,22 |
|
13, 28 |
0,32 |
0.22 |
0,36 |
0,10 |
|
14, 29 |
0,36 |
0.24 |
0,28 |
0,12 |
|
15, 30 |
0,51 |
0.26 |
0,10 |
0,13 |