Расчёт схемы звезда – звезда без нулевого провода

Расчёт такой же, как и для схемы звезда - звезда с нулевым проводом. Только будет отсутствовать комплексная проводимость нулевого провода Y₀, так как нет нулевого провода (рис. 21).

Рис. 21. Схема соединений звезда – звезда без нулевого провода

Для этой схемы

(47)

Если нагрузка неравномерная, то и на фазах нагрузки будут разные напряжения:

Ú_{AO`</sub>=É<sub>А</sub> -Ú<sub>O`О},Ú_{ВO`</sub>=É<sub>В</sub> -Ú<sub>O`О},Ú_{СO`</sub>=É<sub>С</sub> -Ú<sub>O`О}(48)

А токи в фазах нагрузки будут найдены:

; (49)

; (50)

; (51)

Линейные токи по отношению друг к другу могут находиться под любым углом, т. е. образуют несимметричную систему векторов. По первому закону Кирхгофа их сумма должна равняться нулю:

Í_A+Í_B+Í_C= 0. (52)

Если нагрузка равномерная, то:

(53)

так как 1 + а­² + а = 0

В этом случае линейные токи Í_A,Í_B,Í_C образуют симметричную систему векторов:

;;; (54)

Естественно, что:

Í₀ =Í_A+Í_B+Í_C= 0. (55)

Расчёт схемы, когда нагрузка соединена звездой и известны линейные напряжения (рис. 22)

Сюда подходят схемы соединений треугольник – звезда и звезда – звезда без нулевого провода.

Рис. 22. Электрическая схема

По первому закону Кирхгофа можно записать:

Í_A+Í_B+Í_C= 0 (56)

Токи в фазах нагрузки можно записать через фазные напряжения нагрузок Ú_A,Ú_B,Ú_Cи комплексные проводимости нагрузок:

Í_A = Ú_AY_A; Í_В = Ú_ВY_В; Í_С = Ú_СY_С; (57)

Подставим (57) в (56):

Ú_AY_A+Ú_ВY_В+Ú_СY_С = 0 (58)

Фазные напряжения Ú_В иÚ_С могут быть выражены черезÚ_А и заданные линейные напряженияÚ_АВ иÚ_СА:

Ú_АВ=Ú_А -Ú_В;Ú_В=Ú_А -Ú_АВ; (59)

Ú_СА=Ú_С –Ú_А;Ú_С=Ú_А +Ú_АВ; (60)

Подставим (59) и (60) в (58):

Ú_AY_A+ (Ú_А –Ú_АВ)Y_В+ (Ú_А +Ú_АВ)Y_С = 0.

Отсюда

(61)

Теперь фазные напряжения Ú_АиÚ_Свыразим черезÚ_В и заданные линейные напряженияÚ_АВ иÚ_ВС:

Ú_АВ=Ú_А -Ú_В;Ú_А=Ú_В +Ú_АВ; (62)

Ú_ВС=Ú_В –Ú_С;Ú_С=Ú_В -Ú_ВС; (63)

Подставим (62) и (63) в (61):

(Ú_В +Ú_АВ)Y_A+Ú_ВY_В+ (Ú_В -Ú_ВС)Y_С = 0.

Отсюда

(64)

Аналогично выразим Ú_АиÚ_Ввыразим черезÚ_С и заданные линейные напряженияÚ_СА иÚ_ВС:

Ú_СА =Ú_С –Ú_А;Ú_А=Ú_С –Ú_СА; (65)

Ú_ВС=Ú_В –Ú_С;Ú_В=Ú_С +Ú_ВС; (66)

Подставим (66) и (65) в (64):

(Ú_С –Ú_СА)Y_A+ (Ú_С +Ú_ВС)Y_В+Ú_СY_С = 0.

Отсюда

(67)

Расчёт схемы, когда нагрузка соединена треугольником и известны линейные напряжения (рис. 23)

Сюда подходят схемы соединений треугольник – треугольник и звезда – треугольник.

Рис. 23. Электрическая схема

Так как заданные линейные напряжения Ú_AB,Ú_BС,Ú_СА напрямую подключаются к сопротивлениям нагрузкиZ­_ab,Z­_bc,Z­_ca, то легко найти фазные токи нагрузокÍ_ab,Í_bc,Í_ca:

(67)

Токи в линейных проводах определяются по первому закону Кирхгофа для узлов a,b,c:

Í_А+Í_cа-Í_ab= 0;Í_А=Í_аb–Í_ca; (68)

Í_В+Í_аb-Í_bc= 0;Í_В=Í_bc–Í_ab; (69)

Í_С+Í_bc–Í_ca= 0;Í_С=Í_ca–Í_bc; (70)

Если на выводах несимметричной трёхфазной нагрузки, соединённой треугольником, заданы фазные напряжения источника Ú_A,Ú_B,Ú_C, обмотки которого соединены в звезду, то линейные напряжения на выводах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных напряжений:

Ú_AB=Ú_A–Ú_В;Ú_BС=Ú_B–Ú_С;Ú_СА =Ú_С–Ú_С; (71)

Далее задача сводится к только что рассматриваемому случаю.

Расчёт трёхпроводной трёхфазной схемы, когда в линейных проводах включены сопротивления

Когда между генератором и нагрузкой большое расстояние, то необходимо учитывать сопротивления линейных проводов. Линейные провода обладают активным и индуктивным сопротивлениями.

Рассмотрим расчёт схемы соединений треугольник – треугольник (рис. 24).

Рис. 24. Схема соединения треугольник - треугольник

Будем считать, что нагрузка неравномерная. На схеме рис. 24 обозначено:R– активное сопротивление линейного провода,L– индуктивность линейного провода.

Ни один из выше рассмотренных методов расчёта напрямую не подходит для расчёта данной схемы.

Перед расчётом известны все линейные ЭДС генератора Е́_АВ, Е́_ВС, Е́_СА, комплексные сопротивления нагрузок и линейных проводов.

Расчёт любой трёхфазной цепи начинается с написания систем трёх линейных и трёх фазных напряжений генератора. Предположим, что Е́_АВ= 380В. Что бы не ошибиться, желательно строить векторную диаграмму линейных и фазных напряжений.

Вектор Е́_АВнаправлен по вещественной оси комплексной плоскости (рис. 25)

Рис. 25. Векторная диаграмма

Вектор Е́_ВСотстаёт от вектора Е́_АВна 120°. В результате получилась следующая система:

Е́_АВ = 380 В

Е́_ВС= 380^-j120°= -190 –j329,09 В (72)

Е́_СА = 380^j120° = -190 –j329,09 В

Теперь запишем систему трёх фазных ЭДС генератора. Из векторной диаграммы рис. 25 видно, что ЭДС Е́_Аотстаёт от Е́_{АВ ­}на 30°. Треугольник линейных ЭДС равносторонний, все углы по 60°. Фазные ЭДС делят эти углы пополам. Кроме того известно, что фазные ЭДС в раз меньше линейных:

Поэтому для фазной ЭДС генератора можно записать:

Е́_А= 220^-j30°= 190,526 –j100 В

Фазная ЭДС Е́_В отстает от Е́_А на 120°:

Е́_В= 220^-j150°= -190,526 –j100 В

Фазная ЭДС Е́_С опережает от Е́_А на 120°:

Е́_С= 220^j90°=j220 В

Запишем теперь систему трёх фазных ЭДС генератора:

Е́_А= 220^-j30°= 190,526 –j100 В

Е́_В= 220^-j150°= -190,526 –j100 В (73)

Е́_С= 220^j90°=j220 В

Пользуемся ли мы системой трёх линейных ЭДС или трёх фазных ЭДС генератора, потенциалы точек А, В, С одинаковый в обоих случаях.

Для расчёта схемы рис. 24 воспользуемся системой трёх фазных ЭДС (73).

Далее следует преобразовать треугольник нагрузок в эквивалентную звезду. Обозначим через Z­_a,Z­_b,Z­_cсопротивления эквивалентной звезды. Формулы для расчёта точно такие же, как и на постоянном токе, только расчёт ведётся в комплексных числах. На рис. 26 показана эквивалентная схема.

Рис. 26. Эквивалентная схема

Эквивалентные сопротивления звезды рассчитываются по следующим формулам:

(74)

(75)

(76)

В результате от исходной схемы рис. 24 треугольник – треугольник мы перешли к эквивалентной схеме звезда – звезда без нулевого провода, расчёт которой выше рассмотрен. Эта эквивалентная схема нужна, что бы найти линейные токи Í_A,Í_В,Í_С.

Запишем сначала фазные сопротивления Z­_А,Z­_В,Z­_С:

Z­_А = R + jX_L + Z­_a; (77)

Z­_В = R + jX_L + Z­_b; (78)

Z­_С = R + jX_L + Z­_c; (79)

Далее найдем напряжение Ú_O`O:

(80)

А потом найдем линейные токи:

; (81)

; (82)

; (83)

Теперь надо вернуться к исходной схеме рис. 24 и найти потенциалы точек a,b,c:

ϕ́_а = Е́_А–Í_A­(R+jX_L) (84)

ϕ́_b = Е́_B–Í_B­(R+jX_L) (85)

ϕ́_c = Е́_С–Í_С­(R+jX_L) (86)

Далее в схеме рис. 24 найдем фазные токи нагрузок

(87)

(88)

(89)

Балансы активных и реактивных мощностей и векторную диаграмму следует делать по исходной схеме рис. 24.

Векторная диаграмма начинается с построения системы трёх линейных ЭДС генератора Е́_АВ, Е́_ВС, Е́_СА. Далее следует построить векторы токов, чтобы на диаграмме выполнялись следующие соотношения:

Í_A+Í_B+Í_C= 0; (90)

Í_А=Í_аb–Í_ca; (91)

Í_В=Í_bc–Í_ab; (92)

Í_С=Í_ca–Í_bc; (93)

Далее следует посчитать падения напряжений на всех элементах схемы и построить их на диаграмме, чтобы выполнялись следующие соотношения

Е́_АВ= -Í_BR–Í_BjX_L +Í_abZ_ab +Í_AjX_L +Í_AR; (94)

Е́_CВ= -Í_CR–Í_CjX_L +Í_bcZ_bc +Í_BjX_L +Í_BR; (95)

Е́_CA= -Í_AR–Í_AjX_L +Í_caZ_ca +Í_CjX_L +Í_CR; (96)

Так будет построена полная векторная диаграмма трёхфазной цепи

рис.24.

29