AB

				F Tran			sf
				D
		Y	P				or	e
B	Y						m
							buy	r
								2
								0
						to		.
					here
				Click
w								m
		w		w.			o
							.
							c
		&A BBYY

6

Глава I.

Неопределенные и определенные интегралы

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Теоретические вопросы

1.Первообразная функции.

2.Неопределенный интеграл и его свойства.

3.Таблица основных интегралов.

4.Методы интегрирования.

5.Интегрирование рациональных функций.

6.Интегрирование тригонометрических функций.

7.Интегрирование иррациональных функций.

8.Определенный интеграл и его свойства.

9.Формула Ньютона-Лейбница.

10.Методы вычисления определенных интегралов.

11.Несобственные интегралы.

12.Приложения определенных интегралов.

4

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб. для вузов: в 3т.-5-е изд.,

стер. - М.: Дрофа. - (Высшее	образование. Современный	учебник). Т.2.
Дифференциальное и интегральное исчисление. - 2003. - 509 с.

2.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. - 22-е

изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003. - 432 с.

3.	Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями):	в 2
	ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд.-М.: ОНИКС 21 век,	ч.2. -
	2002.-416 с.
4.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие:	в
	2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

5.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть. – 2-е изд., испр. –

М.: Айрис-пресс, 2002. – 288 с.: ил.

AB

					F Tran				sf
				D
		Y	P						or
										e
B	Y									m
									buy	r
										2
										0
								to		.
							here
				Click
w										m
		w		w.					o
						&.c
					A BBYY

7

1. Неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Функция

F (x) называется первообразной функции f (x)

на промежутке

(a,b) , если F ¢(x) = f (x ), "x Î(a, b) .

Если функция F (x) - первообразная функции f (x)

на промежутке (a,b) , то и

функция F (x) + C ,

где

C - const , тоже является первообразной функции f (x) на

промежутке (a,b) .

Любые две

первообразныеF1 (x) и

F2 (x)

функции f (x)

связаны соотношением: F1(x) - F2 (x) = C .

Совокупность

F (x) + C

всех

первообразных

функции f (x) называется

неопределенным

интегралом

от функции f (x)

и

обозначается ò f (x) dx .

O

Таким образом, по определению ò f (x) dx = F (x) + C .

Свойство линейности неопределенного интеграла

1.

ò

é f

(x) + f

2

(x)ù dx =

ò

f (x) dx +

ò

f

2

(x) dx

ë

1

û

1

2.

òk

f (x) dx = k ò f (x) dx,

k - const

Таблица неопределенных интегралов

1. ò xa dx =

xa +1

+ C, a ¹ -1;

a +1

2. ò

dx

= ln | x | +C;

x

3.

ò

ax dx =

ax

+ C (a > 0, a ¹1);= ex dx ex + C;

ln a

ò

4. òsin x dx = -cos x + C;

5. òcos x dx = sin x + C;

6. ò

dx

= -ctg x + C;

2

x

sin

7. ò

dx

= tg x + C;

2

cos

x

8. ò

dx

=

1

arctg

x

+ C

(a ¹ 0);

a

2

2

+ x

a

a

t = j-1 (x ).

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

Click

w

m

w

w.

.

o

A BBYY

c

dx

x

9. ò

(a > 0);

= arcsin

+ C

a

2

2

- x

a

8

AB

						F Tran			sf
				D
		Y	P							or	e
B	Y									m
									buy		r
											2
											0
								to			.
							here
				Click
w											m
		w		w	.					o
									.
						A B BYY				c

При решении задач могут быть полезны формулы:

1. ò

dx

= ln | x +

| +C (a ¹ 0) ;

x2 ± a2

x

2

2

± a

2. ò

dx

=

1

ln |

x - a

| +C (a ¹ 0);

x

2 2

- a

2a x + a

3. ò

dx

= ln | x - a | +C .

x

- a

&

Основные методы интегрирования

1.

Непосредственное интегрирование.

Отыскание

неопределенного

интеграла

с

помощью

с

неопределенных интегралов, таблицы основных интегралов и тождественных

преобразований выражений называют непосредственным интегрированием.

2.

Метод подстановки (замены переменной).

Пусть

требуется вычислить интегралf (x) dx ,

где

функция f (x)

ò

определена на некотором промежутке(a,b) . Сделаем замену переменной в

подынтегральном

выражении, положив

x = j (t ) , где t -

новая переменная,

Oj (t )- функция, определенная и непрерывно дифференцируемая на некотором

промежутке (a, b ) . Тогда получим:

ò	f (x) dx =	ò	f éj (t )ù j¢(t ) dt ,			(1)
			ë	û

причем после вычисления интеграла правой части(1) возвращаются к старой переменной x обратной подстановкой

Заметим, что функцию j (t ) выбирают таким образом, чтобы интеграл в правой части равенства (1) оказался проще исходного и мог быть вычислен.

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

9

here

Click

w

m

w

w.

o

.

A B BYY

c

3.Метод интегрирования по частям.

Если функции u (x ) и v (x) - дифференцируемые, то справедлива формула:

	òu dv = u v - òv du	(2)
Заметим, что функции u (x ) и dv (x)		выбирают таким образом, чтобы

интеграл в правой части формулы(2) оказался проще исходного. Иногда формулу интегрирования по частям (2) приходится применять несколько раз.

&

Интегрирование рациональных функций

Дроби

вида

A

Mx + N

и

,

где

n Υ; A, M , N, a, p, q Ρ

и

(x - a)n

(x2

+ px + q)n

O

p2 - 4q < 0 ,

называют простейшими дробями

соответственно1 и

2

типов. Интегралы от простейших дробей вычисляются изложенными выше

методами.

P (x)

b xm + b xm-1 +... + b

Интегрирование

рациональных

функций

видаm

=

0

1

m

c0 xn + c1 xn-1 +... + cn

Qn (x )

сводится к интегрированию простейших дробей. Возможны два случая:

1. Пусть Pm (x) - правильная (m < n) рациональная функция, причем

Qn (x )

Q

(x )= x(

- a )a1

(x - a

2

)a2

×××

(x - a

)al

×

(

x2 + p x + q

m1

(

x2

+ p

x + q

2 )

m2

×××

(

x2 + p

x + q

s )

ms ,

n

1

l

1

1 )

2

s

и

a1 +a2 + ×××+al + 2 (m1 + m2 + ×××+=ms )

n . Тогда

дробь

Pm

(x)

представима

в виде

Qn

(x )

суммы простейших дробей 1 и 2 типов:

P

(x)

A

A

Aa

B

B

Ba

l

m

=

1

+

2

+... +

1

+... +

1

+

2

+ ... +

+

Q

(x )

(x

-

(x

-

a1 -1

x - a

(x

-

(x

-

al -1

x - a

a1

a

al

a

n

a )

a )

1

)

)

l

1

1

l

l

+

M

x + N

+

M

2

x + N

2

+

... +

M m x + Nm

+ ... +

K x + L

+

1

1

1

1

1

1

(x2 + p1x + q1 )m1

(x2 + p1x + q1 )m1 -1

x2 + p1x + q1

(x2 + ps x + qs )ms

+

K

2

x

+ L

+... +

Km

s

x + Nm

s

.

2

(x2 + ps x + qs )ms -1

x2 + ps x + qs

AB

F Tran

sf

F Tran

sf

D

D

Y

P

or

e

Y

P

or

e

B

Y

m

B

Y

m

buy

r

B

buy

r

2

2

0

0

to

.

A

to

.

here

10

here

Click

Click

w

m

Pm (x)

w

m

w

w. .

o

w

w. .

o

A BBYY

c

A B BYY

c

2. Если исходная

дробь

- неправильная

(m ³ n) , то ее можно

Qn (x )

представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

Pm (x)

= S

m-n (

x +

Rr (x)

.

Qn (x )

) Qn (x )

Здесь

Sm-n (x)

- многочлен, дробь

Rr (x)

- правильная ( r < n ). Выделение целой

Qn (x )

части

Sm-n (x)

дроби

Pm (x)

производится делением многочленаPm (x) на

Qn (x )

многочлен Qn (x) (по правилу деления многочленов).

Таким образом, интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

&

O

Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида òR (sin x, cos x ) dx .

Рассмотрим интеграл видаòR (sin x, cos x ) dx , где R (sin x, cos x)-

рациональная функция своих аргументов. С помощью подстановкиtg x = t

2

данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции переменной

t . Справедливы формулы:

sin x =

2t

, cos=x

1-t 2

, dx=

2dt

.

+ t 2

1+ t2

1

1+ t 2

Заметим, что

подстановка tg

x

= t

является

универсальной, так как дает

2

возможность

проинтегрировать

любую

функцию видаR (sin x, cos x ) dx .

ò

Однако на практике иногда эта подстановка приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях удобнее использовать другие подстановки:

а) Пусть интеграл имеет	видR (sin x) cos x dx					или	ò	R (cos x) sin x dx		. Тогда
		ò
соответственно применяется	замена			или					, которая приводит
			sin x = t			cos x = t

AB

F Tran

sf

F Tran

sf

D

D

P

or

P

or

Y

Y

m

Y

Y

m

B

e

B

e

buy

r

B

buy

r

2

2

.

.

to

0

A

to

0

here

11

here

Click

Click

w

m

w

m

w

w.

w

w.

o

o

c

c

.

.

A BBYY

A B BYY

рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональной функции нового

аргумента t .

подынтегральная функция имеет вид

, но sin x и cos x

б)

Если

R (sin x, cos x)

содержатся

только

в

четных

степенях, то

удобнее

воспользоваться

подстановкой

, в результате которой получим интеграл от рациональной

tg x = t

функции переменной t .

в)

Пусть

òR (sin x, cos x) dx = òsinm x ×cosn x dx

.

Тогда возможны 3 случая:

1) Пусть среди чисел m и n есть хотя бы одно нечетное число. Допустим, для

определенности, что n - нечетное,

т.е. n = 2k +1, k Î¥ È{0}. Тогда,

представив

cosn x = cos2k +1 x= cos2k x ×cos x

=1

-sin2 x

)

k ×cos x

и положив

,

приходим к

sin x = t

(

интегралу,

который легко вычисляется.

2) Пусть

числа m и n - четные и неотрицательные. Тогда с помощью формул

sin2 x =

1- cos 2x

и

cos2 x =

1+ cos 2x

можно понизить степени синуса и косинуса

2

2

m

æ1+ cos 2x ö

n

m

æ1- cos 2x ö 2

n

2

под знаком интеграла: sin

x = ç

÷

, cos

x = ç

÷

;

2

2

è

ø

è

ø

3) Пусть оба показателя степениm и n четные, причем хотя бы один из них

отрицателен. В этом случае				следует			сделать	заменуtg x = t	или ctg x = t , в
результате которой придем к интегралу, который легко вычисляется.
2. Интегралы вида			ò R (tg x) dx		или	òR (ctg x) dx		.
Для		вычисления данных		интегралов			используют подстановкиtg x = t или
	,	которые приводят		рассматриваемые				интегралы	к интегралам от
ctg x = t

рациональных функций нового аргумента t .

3. Интегралы вида

O

1)òsina x ×sin b x dx,

2)òsin a x ×cos b x dx,

3)òcosa x ×cos b x dx,

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

12

Click

w

m

w

w. .

o

гдеa, b Ρ. Для

вычисления

данных

интегралов

A BBYY

c

тригонометрические формулы:

1) sin a ×sin b

=1

écos (a - b )- cos (a + b )ù,

2 ë

û

2) sina ×cos b =

1

ésin (a - b )+ sin (a + b )ù,

2 ë

û

3) cosa ×cos b

=

1

écos (a - b )+ cos (a + b )ù.

2 ë

û

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
									при
					A B BYY				c

&

Интегрирование иррациональных функций

æ

ö

æ ax + b öm

æ ax + b ös

1.

Рассмотрим

интеграл

вида

R ç x, n

,..., r

÷ dx

,

где R -

ç

÷

ç

÷

÷

ò ç

è cx + d ø

è cx + d ø

è

ø

рациональная функция своих аргументов; n,..., r Î¥,

m,..., s ΢ .

Замена

ax + b

= tl

,

где

l = HOK (n,..., r ),

( HOK -

наименьшее

общее

кратное),

cx + d

приводит данный интеграл к интегралу от рациональной функции нового

аргумента t .

вида

.

2.

Рассмотрим

интеграл

òR (x,

)dx

Для

вычисления

ax2 + bx + c

данного интеграла в

квадратичном

трехчленевыделяют

полный

квадрат:

b ö2

2

æ

æ

b2 ö

b

ax

+ bx + c =a ç x +

÷

+ çc -

÷ .

Далее

заменой

x +

= t

исходный

интеграл

2a

è

2a ø

è

4a ø

Oприводится к одному из следующих интегралов:

a) òR (t,

)dt , если a > 0, b2

где m2

= a,=n2 c -

b2

m2t2 + n2

- 4ac < 0,

;

4a

b) òR (t,

)dt , если a > 0, b2 - 4ac > 0,

где m2

= a, - n2=

c -

b2

m2t2 - n2

;

4a

c) òR (t,

)dt , если a < 0, b2

где -m2= a=, n2

c -

b2

.

n2 - m2t2

- 4ac < 0,

4a

Последние интегралы с помощью соответствующих подстановок:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

a) t = n tg z;

			m
	b) t =		n			1	;
			m cos z
	c) t =	n		sin z
			m

13

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

приводятся к интегралам вида òR (sin x, cos x ) dx .

?	Задание 1. Вычислить интеграл: ò	4x3	-5x		dx .
		x		2

Решение. Данный интеграл можно вычислить непосредственны интегрированием. Действительно,

ò

4x3 -5x

dx = 4òx dx -

5ò

dx

=2x

2

-5 ln | x | +C .

x

2

x

Задание 2. Вычислить интеграл: ò

sin 2x

dx .

1+ cos

2

x

Решение. Данный интеграл не является табличным. Его можно вычислить

методом

замены переменной.

Положим: 1+ cos2 x = t.

Тогда -2 cos x ×sin x dx = dt ,

т.е. -sin 2x dx = dt . Следовательно,

sin 2x

dt

-1

t 12

2

ò

dx = -ò=

-ò=t

2 dt

-

+ C=

-2

t + C=

-2 1+ cos

x + C.

1

1+ cos2 x

t

2

Задание 3. Вычислить интеграл: ò x3 ln x dx .

Решение. Данный интеграл не является табличным. Методом замены

переменной мы также не достигнем нужного нам результата. Его можно

вычислить

методом

интегрирования

по

.частямДля

этого

положим

u = ln x, dv = x3dx . Тогда

du =

dx

, v =

x4

.

Следовательно,

по

формуле

x

4

интегрирования по частям (2) имеем:

3

x4

1

3

x4

x4

x4

æ

1 ö

x

ln x dx =

ln x -

=x

dx

ln x -

+ C =

çln x -

÷ + C .

ò

4

4 ò

4

16

4

è

4 ø

Задание 4. Найти интеграл:

ò

dx

.

x

4

-1

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

14

Решение. Заметим, что подынтегральная функция 1 x4 -1

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w							o
					w. .
данного интеграла						A B BYY				c

является правильной

рациональной

функцией. Разложим

её на сумму

простейших дробей:

1

=

=

1

(

)

A

+

B

+

Mx + N

,

(3)

x4 -1

(x

1)(x

1)

x

2 +

x -1 x +1 x2 +1

-

+

1

где A, B, M , N - неопределенные коэффициенты.

Для нахождения значений коэффициентов правую часть равенства(3)

приводим к общему знаменателю:

1		=	(A + B + M )x3	+ (A - B + N )x2 +	(A + B - M )x + (A - B - N )
x4 -1				x4 -1	(4)

Из равенства дробей (3) и (4) получаем:

1 = (A + B + M )x3 + (A - B + N )x2 + (A + B - M )x + (A - B - N ) .

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x .

Следовательно, имеем:

																				ìA + B + M = 0
																			ï				- B + N = 0
																				ïA																							(5)
																			í
																				ïA			+ B - M =						0
																			ï				- B - N =1
																				îA
Решив систему алгебраических уравнений (5), получим:
																			1					1														1		.
															A = = , B									- =,=M 0, N -
																																						2
																			4					4
			Таким образом, разложение дроби																							1						на сумму простейших дробей
																										x4 -1
имеет вид:
																		1			=		1	×	1		-	1		×		1		-		1	×				1			.
																x4 -1 4 x -1 4 x +1 2 x2 +1
Следовательно, исходный интеграл равен:
ò		dx		=	1	ò	dx	-	1	ò	dx	-	1	ò			dx			=		1		ln | x -1|					-			1	ln | x +1| -									1	arctg x + C .
	x	4													x		2															4										2
			-1 4				x -1 4				x +1 2							+1 4
			Задание 5. Найти интеграл: ò																								dx								.
																							4 sin x + 3cos x + 5

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

15

here

Click

w

m

Решение. Данный интеграл является интегралом от рациональной функции

w

w. .

o

A B BYY

c

аргументов sin x

и cos x . Полагая tg

x

= t ,

имеем

2

dx

2dt

dt

dt

1

ò

= ò

1+ t 2

= ò

ò

+ C =

=

2

2

=

-

4sin x

+ 3cos x + 5

2t

1-t

t

(t + 2)

2

t + 2

4

+ 3

+ 5

+ 4t + 4

1

1+ t 2

1+ t2

= -

+ C .

tg

x

+ 2

2

dx

Задание 6. Найти интеграл: ò .

3 (2x +1)2 + 2x +1

Решение.

Рассматриваемый

интеграл

является

интегралом

иррациональной

функции.

Подстановка 2x +1 = t6 приведёт данный

интеграл к

интегралу

от

рациональной

функции

аргументаt .

Действительно имеем:

dx = 3t5dt и

dx

3t5dt

3

t

5dt

3

t2dt

.

=

=

=

ò 3 (2x +1)2 +

ò 3 t12 + t6

ò t4

ò t +1

+ t3

2x +1

Подынтегральная функция

t 2

полученного интеграла является неправильной

t +1

рациональной функцией. Чтобы вычислить интеграл, необходимо выделить

целую часть дроби

t 2

и представить эту

дробь в виде суммы

многочлена и

t

+1

правильной

рациональной

функции (выполнив

деление

многочленов). В

результате получим:

t 2

= t -1+

1

.

t +1

t

+1

Следовательно, имеем:

t 2

ò

æ

1

ö

ò

ò

dt

3

2

- 3t + ln | t +1| +C .

3

dt =

3

çt -1

+

=

÷dt 3

t dt

-3

dt +

3 =

t

+1 2

ò t +1

è

t

+1

ø

òt

Таким образом,

ò

dx

3

(2x

+1)

2

-3(2x +1)+ 3ln | 2x +1| +C .

=

3

2

(2x +1)2

+

2x +1