- •Киров 2010
- •Махнев А.С.
- •Глава I. Основы линейной алгебры
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители второго и третьего порядка.
- •Обратная матрица
- •3. Системы линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Формулы Крамера
- •3.2 Матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений
- •4. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •геометрии в пространстве
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3. Линии второго порядка
- •4. Полярная система координат
- •5. Комплексные числа
- •1. Предел функции
- •2. Непрерывность функции
- •3. Дифференцирование функций
- •4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
- •5. Исследование функций
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Основы линейной алгебры
- •Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
6.
7.
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
||
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|
||
|
w |
|
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w |
w. . |
o |
|||||||
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в |
|
|
|
c |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A B BYY |
|
|
|
2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах(с
решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.:
ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
1. Предел функции
OПусть функция y = f (x) определена на множестве D . Число А
|
называется пределом функции f (x) при x ® x0 , если "e > 0 |
$d = d (e ) > 0 , что |
|||||||||||||||||||||
|
|
f (x)- A |
|
< e |
при x : 0 < |
|
x - x0 |
|
< d . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Это записывают так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
lim f (x)= A |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если x ® x0 |
|
и x < x0 , то используют запись x ® x0 - 0 ; если x ® x0 и x > x0 , то |
||||||||||||||||||||
|
|
x ® x0 + 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Числа |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
называются соответственно |
||||||||||||
|
f (x0 |
- 0)= lim f (x) |
|
f (x0 + 0) = lim f (x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 -0 |
|
|
|
|
|
x®x0 +0 |
|
|
||||
|
левосторонним и правосторонним пределами функции |
f (x) в точке x0 . |
|||||||||||||||||||||
|
Если существуют пределы lim f (x) |
и lim g(x), то: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 |
x®x0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1) |
lim [a × f (x)+ b × g(x)]= a lim f (x)+ b lim g(x), где a, b - const ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x®x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 |
x®x0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2) |
lim [f (x)× g(x)]= lim f (x)× lim g(x); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x®x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 |
|
x®x0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
é f (x )ù |
|
lim f (x) |
æ |
|
|
|
ö |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x®x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ç lim g(x )¹ 0÷ . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim g(x ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x®x0 ëê g(x )ûú |
|
è x®x0 |
ø |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При решении задач полезно знать следующие “замечательные” пределы:
1) lim sin x =1; |
|
|
2) lim(1 + x)x |
= e ; |
3) lim a |
x |
-1 = ln a ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
x®0 |
|
x |
|||
4) |
lim |
loga |
(1 + x) |
= loga |
e; |
5) |
lim |
(1 |
+ x)m -1 |
= m. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x®0 |
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A B BYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их
пределов, приводит к неопределенностям вида ¥ , 0 ,1¥ , ¥ - ¥ , и т.д.
¥ 0
Существуют различные приемы раскрытия данных неопределенностей:
деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (при x ® ¥ ); сокращение на множитель, создающий неопределенность;
применение “замечательных” пределов и т.п.
?Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1) lim 4x2 - 3x +1
x®¥ 2x2 + x - 5
Решение. При x ® ¥ получаем неопределенность вида ¥ . Чтобы найти
¥
предел данной дробно - рациональной функции, необходимо предварительно разделить числитель и знаменатель дроби на x2 , т.к. степень x2 - наивысшая степень многочленов, определяющих данную рациональную функцию.
Применяя основные теоремы о пределах и свойства бесконечно малых величин, получаем:
|
|
|
4 |
3 |
1 |
|
||||
|
4x2 - 3x +1 |
|
- |
|
|
+ |
|
|
||
lim |
= lim |
|
x |
x2 |
= 2 |
|||||
|
|
1 |
5 |
|||||||
x®¥ 2x2 + x - 5 x®¥ |
2 |
|
||||||||
|
|
|
+ |
|
|
- |
|
|
||
|
|
|
x |
|
x2 |
|
2) lim` 2x -1 -1
x®1 x -1
Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента
x = 1 приводит к неопределенности вида 0 . Чтобы раскрыть эту
0
неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму
2x -1 +1:
|
|
|
-1 |
= lim |
( |
|
-1)( |
|
|
+1) |
|
2(x -1) |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
lim |
|
2x -1 |
2x -1 |
2x -1 |
= lim |
= lim |
|
=1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x®1 |
x -1 |
x®1 |
(x -1)( 2x -1 +1) |
x®1 |
(x -1)( 2x -1 +1) |
x®1 |
2x -1 +1 |
|
||||||||||||||||
3) lim |
1 - cos 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x®0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A BBYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
|
|
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
||
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
w. . |
|
||||||
Решение Здесь имеет место неопределенность вида |
. Вычисление данного |
A B BYY |
c |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предела основано на применении первого “ замечательного” предела
( lim sin x = 1).Имеем:
x®0 x
lim |
1 - cos 5x |
= lim |
|
x2 |
|||
x®0 |
x®0 |
æx + 8 öx
4)limç ÷ x - 2 øx®¥è
2 sin |
2 |
æ |
5x ö |
|
|
||
|
ç |
|
÷ |
|
25 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
è |
ø |
= |
lim |
||
|
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 x®0 |
sin |
2 æ |
|
5x ö |
|
|
æ |
||
ç |
|
|
÷ |
|
25 |
ç |
||
2 |
|
|||||||
|
|
è |
ø |
= |
limç |
|||
æ 5x ö2 |
|
2 |
||||||
|
|
x®0 ç |
||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
2 |
|
|
|
|
|||
è |
|
ø |
|
|
|
è |
sin |
5x ö2 |
|
|
||||
|
|
÷ |
|
25 |
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
÷ |
= |
|||
|
5x |
÷ |
2 |
||||
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
ø |
|
|
Решение. При x ® ¥ данная функция представляет собой степень,
основание которой стремится к 1, а показатель – к ¥ (неопределенность вида
1¥ ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй “замечательный”
|
æ |
|
1 |
öx |
||
предел ( lim |
ç1 |
+ |
|
÷ |
= e ). Получим: |
|
x |
||||||
x®¥è |
|
ø |
|
æ x + 8 öx limç ÷ x®¥è x - 2 ø
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
x-2 |
ù |
10 x |
|
|
æ |
|
10 |
ö |
x |
|
|
10 |
ö |
x-2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
10 |
ú . |
|||||||
= lim |
ç1 |
+ |
|
÷ |
|
= lim |
êç1 |
+ |
|
÷ |
|
|||
x - 2 |
|
x - 2 |
|
|||||||||||
x®¥è |
|
ø |
|
x®¥ |
êè |
|
ø |
|
ú |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
û |
|
|
|
10 |
|
|
æ |
|
10 |
ö |
x-2 |
||
Так как |
® 0 при |
x ® ¥ ,то lim |
+ |
10 |
= e . Учитывая, что |
|||||
|
ç1 |
|
÷ |
|
||||||
x - 2 |
x - 2 |
|||||||||
|
|
x®¥è |
|
ø |
|
|
|
10x |
|
|
æ x + 8 |
öx |
10 |
|
lim |
|
= 10 , находим |
lim |
ç |
|
÷ |
= e . |
x®¥ x - 2 |
|
x®¥è x - 2 |
ø |
|
& |
2. Непрерывность функции |
|
Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если: |
1)эта функция определена в некоторой окрестности точки x0
2)$lim f (x)
x®x0
3) lim f (x)= f (x0 ).
x®x0
43
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
|||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|||
w |
|
|
|
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
O.c |
|
||||
|
|
|
|
|
A BBYY |
|
Теорема. Для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке x0 ,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства: f (x0 )= f (x0 - 0)= f (x0 + 0).
AB
|
|
|
|
|
F Tran |
sf |
|
||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
Y |
P |
|
|
|
|
|
or |
e |
|
B |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
buy |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
here |
|
|
|
||
|
|
|
|
Click |
|
|
|
|
|||
w |
|
|
|
|
|
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w |
w. |
|
|
|
|
|
o |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
A B |
BYY |
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Точка x0 называется точкой разрыва непрерывности функции, если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции.
Если существуют конечные односторонние пределы
причем не все три числа равны между собой, то x0
называется точкой разрыва первого рода. В частности, если:
1)f (x0 - 0) = f (x0 + 0), то x0 называется устранимой точкой разрыва;
2)f (x0 - 0) ¹ f (x0 + 0), то x0 называется точкой разрыва типа скачка,
причем разность f (x0 + 0)- f (x0 - 0) называется скачком функции f (x) в
точке x0 .
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода,
называются точками разрыва второго рода.
Справедливо следующее утверждение. (?)
? |
ì |
9, x < -3, |
Задание 2. Задана функция y = f (x )= íï x 2 , - 3 £ x £ 3, |
||
|
ï |
2x +1, x > 3. |
|
î |
Исследовать функцию на непрерывность. Сделать чертеж.
Решение Функция y = f (x) задана различными непрерывными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента x . Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых меняются аналитические выражения функции, т.е. точки
и x = 3 . Определим значения функции и ее односторонние пределы в
этих точках:
1) x = -3 :
44