3 Функции многих переменных

Лекция 8. Дифференциал функции

8.1.Определение непрерывной функции

8.2.Напоминание:

три определения производной функции одного переменного:

-предел разностного отношения;

-главная линейная часть приращения;

-тангенс угла наклона касательной.

На многомерный случай обобщается второе определение.

8.3. Дифференциал функции

Определение 24. Дифференциал( +функции) − ()—=это( )главная+ ( ),линейная часть ее приращения:

где — линейный функционал.

8.4. Касательное

пространство

[ , +]

= [ , + ]

u

Определение 25. Касательноепространствовточке

— этопространствовекторов-

стрелок

, приложенных в точке . Оно изоморфноu

. Операции

. Обозначение

.

.

u

наследуются. Обозначение:

.

8.5.() Производная=функции( ); ( ;вдоль) = (вектора)

— линейный функционал на касательном пространстве,

Дифференциал функции u

( ) =

( + )|

.

Лемма 36. Производная

u=0

u () = ( ;)

u

;

функции вдоль вектора есть значение дифференциала наэтом

векторе.

( + ) − ( ) = ( ;) + ( ) = ( ,) + ( )

.

( )

Доказательство.

u ( ) = lim( ,) +

= ( ,).

Определения: векторное поле; производная функции вдоль векторного поля.

17

3 Функции многих переменных

8.6. Производные по Гато и Фреше. Частные производные

Дифференциал функции называется производной по Фреше. Производная функции вдоль вектора называется производной по Гато.

Возьмем базис

,…, u

в

u

и рассмотрим постоянные векторные поля в

u .

Определение 26.1

u

Предложение 37.

Пусть

—u ортонормированныйбазис= = u .

,

—

координаты в

u

,…, u

соответствующие

1,…, u u

= 1 + +

1,…, u , 1

= 1

1

+ + u u

u .

Другими словами:

( ;) = 1( ) 1

1

u

+ + u ( ) u .

8.7. Частные производные и непрерывность

Функция, имеющая частные производные во всех точках, может не быть непрерывной (приведите пример).

Функция, имеющая дифференциал в каждой точке, называется дифференцируемой.

Теорема 38. Дифференцируемая функция непрерывна.

8.8. Достаточное условие дифференцируемости

Теорема 39. Функция, имеющая непрерывные частные производные, дифференцируема.

Лекция 9. Градиент. Старшие производные

9.1. Норма линейного функционала

Норма линейного функционала определена, если линейное пространство наделено дополни-

тельной структурой: скалярным произведением, или, в более общем случае, нормой. Пусть
	u — евклидово пространство,				— соответствующая норма.
Определение 27.		Нормой линейного функционала называется
			| | = √( , )
			|| || =	supu ≠0 | ( )|
9.2. Градиент					| |
Определение 28.		Градиент функции — это вектор, скалярное произведение на который
дает дифференциал функции:			( ;) = (grad ( ),).

18

	u	9 Градиент. Старшие производные
Теорема 40. Всякий линейный функционал в		есть скалярное произведение на неко-
торый вектор.			(3.1)
(grad )( ) = ( 1 ( ),…, u ( )).
В ортонормированном базисе
Следствие 5. Норма дифференциала равна модулю градиента.
Задача 41. Градиент задает направление наибыстрейшего роста функции.
9.3. Теорема о конечном приращении			|| || ≤
ТОгда | ( + ) − ( )| ≤ | |.
Это — аналог теоремы о среднем в одномерном анализе.
Теорема 42. Пусть — дифференцируемая функция в выпуклой области, и				.

9.4. Необходимое1 условие наличия экстремума

Теорема 43. — гладкая функция в открытой области имеет экстремум только в тех точках, где ее дифференциал равен нулю.

Докажите, что обратное неверно.

9.5. Старшие производные

Фиксируем координаты в . Частные производные первого порядка от функции

— это

. Определим по индукцииu

частную производную порядка

как результат -кратного

применения операторов

, взятых в произвольном порядке.

u

9.6. Теорема о равенствеu

смешанных производных

Теорема 44. На функциях с непрерывными вторыми частными производными,

опера-

торы u , u

коммутируют:

(3.2)

Доказательство.

Достаточно

доказать теорему для функции двух переменных и операто-

ров 1

и 2

. Фиксируем точку ( , ). Рассмотрим вспомогательную функцию

Мы докажем,

что1

2

) = ( +

1

, +

2

) − ( +

1

, ) − ( , +

2

) + ( , ).

( ,

следует (3.2)1 2.

1

2

( )

1

2

+ (

1

2

) =

2

1

( )

1

2

+ (

1

2

).

(3.3)

Отсюда

( , ) =

Докажем (3.3). Рассмотримдвавыражениядляфункции

, использущиеформулуНmютона-

Лейбница; в одном интегрирование происходит по вертикальным отрезкам, в другом — по горизонтальным( 1,. 2Равенство) = [ ( +этих1, двух+ 2)выражений− ( , + даст2)] −формулу[ ( + 1,(3).3)−. ( , )] =

19

3 Функции многих переменных∫ 1													1( + 1, + 2) 1−
	∫	1		1	( +			1	,)		0	= ∫		1		[		1	( +			1	, +			2	) −			1	( +			1	)]		1	.
Выражение											1
	0												0								= (,)								+ (1) ,( ) [0, ]
в силу( , ) = ( + , + ( ))
1	под интегралом по теореме о среднем имеет вид:																											2					2			1			2
	2				2	1				1				1						2	2			1
Представление функции							( , ) = ( ,)																		+ (1) .
непрерывности вторых частных производных. Весь интеграл равен
									1		2			2			1				1			2				1	2
с помощью ( , ) = [ ( + , + ) − ( + ,)] − [ ( , + ) − ( ,)]
		1		2					в виде						2								1									2
											1														+ (1) .
Это доказывает							( , ) = ( ,)
	аналогичных рассуждений дает:																				1			2				1	2
									1		2			2			1
			утверждение (3.3), а с ним и всю теорему.

Лекция 10. Дифференциал отображения

10.1. Определение дифференциала

Дифференциалотображения — этоглавнаялинейнаячастьприращения. Формальноеопределение таково:

Определение 29. Дифференциал в точке			отображения	u → u	— это линейный
оператор
такой, что	( ) = u u → u (u ) u
	( + ) − ( ) = + ( ) при → 0.

10.2. Якобиева матрица и якобиан

1,…, u

1

,…, u

u

и

u . В этих координатах

1,…, u

Если в

и

выбраны базисы

то возникают соответствующие базисы и коор-

динаты воu

всехu касательных пространствах, а также координаты

и

в

( ) = (1(1,…, u ),…, u (1

,…, u ))

(3.4)

( ) = (uu ); uu = u u ( ) =

u

(3.5)

u ( ).

20