- •Министерство образования и науки
- •Предисловие.
- •1 Решить дифференциальные уравнения
- •2 Решить дифференциальное уравнение
- •3 Решить задачу Коши
- •4 Решить дифференциальные уравнения
- •5 Решить задачу Коши
- •6 Решить дифференциальные уравнения
- •7 Решить дифференциальное уравнение
- •Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.3. Однородные уравнения.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения.
- •2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •2.1. Общие понятия и определения.
- •2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •2.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •2.5. Метод вариации произвольной постоянной
- •2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
3 Решить задачу Коши
1) , ; |
2) , ; |
3) , ; |
4) , ; |
5) , ; |
6), ; |
7), ; |
8) , ; |
9) , ; |
10) , ; |
11) , ; |
12) , ; |
13) , ; |
14) , ; |
15) , ; |
16) , ; |
17) , ; |
18) , ; |
19) , ; |
20) , ; |
21) , ; |
22) , ; |
23) , ; |
24) , ; |
25) , ; |
26) , ; |
27) , ; |
28) , ; |
29) , ; |
30) , . |
4 Решить дифференциальные уравнения
1) а) ; |
б); |
2) а) ; |
б); |
3) а) ; |
б); |
4) а) ; |
б); |
5) а) ; |
б) ; |
6) а) ; |
б) ; |
7) а) ; |
б) ; |
8) а) ; |
б) ; |
9) а) ; |
б); |
10) а) ; |
б) ; |
11) а) ; |
б) ; |
12) а) ; |
б); |
13) а) ; |
б); |
14) а) ; |
б) ; |
15) а) ; |
б) ; |
16) а) ; |
б) ; |
17) а) ; |
б) ; |
18) а) ; |
б) ; |
19) а) ; |
б); |
20) а); |
б); |
21) а) ; |
б) ; |
22) а) ; |
б) ; |
23) а); |
б) ; |
24) а) ; |
б) ; |
25) а) ; |
б) ; |
26) а) ; |
б) ; |
27) а) ; |
б) ; |
28) а); |
б) ; |
29) а) ; |
б) ; |
30) а) ; |
б). |
5 Решить задачу Коши
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13);
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
6 Решить дифференциальные уравнения
1) а),
б),
в) ;
2) а),
б),
в);
3) а),
б),
в) ;
4) а) ,
б) ,
в) ;
5) а) ,
б) ,
в) ;
6) а) ,
б) ,
в) ;
7) а) ,
б) ,
в) ;
8) а) ,
б) ,
в) ;
9) а) ,
б) ,
в) ;
10) а) ,
б) ,
в) ;
11) а) ,
б) ,
в) ;
12) а) ,
б) ,
в) ;
13) а) ,
б) ,
в) ;
14) а) ,
б) ,
в) ;
15) а) ,
б) ,
в) ;
16) а),
б),
в);
17) а) ,
б) ,
в) ;
18) а) ,
б) ,
в) ;
19) а) ,
б) ,
в) ;
20) а) ,
б) ,
в) ;
21) а) ,
б) ,
в) ;
22) а) ,
б) ,
в) ;
23) а) ,
б) ,
в) ;
24) а) ,
б) ,
в) ;
25) а) ,
б) ,
в) ;
26) а) ,
б) ,
в) ;
27) а) ,
б) ,
в) ;
28) а) ,
б) ,
в) ;
29) а) ,
б) ,
в) ;
30) а) ,
б) ,
в) .
7 Решить дифференциальное уравнение
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) ; |
7); |
8) ; |
9) ; |
10) ; |
11); |
12); |
13); |
14) ; |
15) ; |
16) ; |
17); |
18) ; |
19); |
20); |
21) ; |
22); |
23); |
24) ; |
25); |
26) ; |
27) ; |
28) ; |
29); |
30) .
|
Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
Дифференциальные уравнения первого порядка.
1.1. Основные понятия.
Дифференциальным уравнением (д.у.) первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи ее производную, т.е. уравнение вида
.
Уравнение вида
, (1.1)
где функция непрерывна в некоторой областиD изменения своих аргументов, называется д.у. первого порядка, разрешенным относительно производной .
Решением уравнения (1.1) на интервале называется функция, удовлетворяющая условиям:
1) имеет производную на;
2) при;
3) обращает (1.1) в тождество:при.
Задачей Коши для уравнения (1.1) называется задача нахождения решения уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию
,
где точка .
Геометрически это означает, что через каждую точку проходит только одна интегральная кривая (график решенияуравнения (1.1)).
Пример 1. Решить уравнение и построить семейство интегральных кривых.
Решение. Перепишем уравнение в виде . Его решениепредставляет собой семейство гипербол. Приимеем еще две интегральные кривые, которые проходят через точку. Эти решения называются особыми.
Ответ:, .