KOMPLEKSNIE
.docИндивидуальное задание «Комплексные числа и многочлены».
Номер варианта указывает преподаватель. Номера задач из каждого задания, соответствующие варианту, указаны в таблице:
Задание вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
N (N =1,2,3,…,10) |
1.N |
2.N |
3.N |
4.N |
5.N |
6.N |
7.N |
например, для варианта № 4 – задачи 1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4, 6.4, 7.4 |
|||||||
11 |
1.1 |
2.2 |
3.3 |
4.4 |
5.5 |
6.6 |
7.7 |
12 |
1.2 |
2.3 |
3.4 |
4.5 |
5.6 |
6.7 |
7.1 |
13 |
1.3. |
2.4 |
3.5 |
4.6 |
5.7 |
6.8 |
7.9 |
14 |
1.4. |
2.5. |
3.6. |
4.7 |
5.8 |
6.9 |
7.10 |
15 |
1.5 |
2.6 |
3.7 |
4.8 |
5.9 |
6.10 |
7.1 |
16 |
1.6 |
2.7 |
3.8 |
4.9 |
5.10 |
6.7 |
7.8 |
17 |
1.7 |
2.8 |
3.9 |
4.10 |
5.6 |
6.8 |
7.9 |
18 |
1.8 |
2.9 |
3.10 |
4.5 |
5.7 |
6.9 |
7.10 |
19 |
1.9 |
2.10 |
3.4 |
4.6 |
5.8 |
6.10 |
7.1 |
20 |
1.10 |
2.2 |
3.5 |
4.7 |
5.9 |
6.1 |
7.2 |
21 |
1.2 |
2.3 |
3.6 |
4.8 |
5.10 |
6.2 |
7.3 |
22 |
1.3 |
2.4 |
3.7 |
4.9 |
5.1 |
6.3 |
7.4 |
23 |
1.4 |
2.5 |
3.8 |
4.10 |
5.2 |
6.4 |
7.5 |
24 |
1.5 |
2.6 |
3.9 |
4.1 |
5.3 |
6.5 |
7.6 |
25 |
1.6 |
2.7 |
3.10 |
4.2 |
5.4 |
6.6 |
7.7 |
26 |
1.7 |
2.8 |
3.1 |
4.3 |
5.5 |
6.7 |
7.8 |
27 |
1.8 |
2.9 |
3.2 |
4.4 |
5.6 |
6.8 |
7.9 |
28 |
1.9 |
2.10 |
3.3 |
4.5 |
5.7 |
6.9 |
7.10 |
29 |
1.10 |
2.3 |
3.4 |
4.6 |
5.8 |
6.10 |
7.1 |
30 |
1.4 |
2.4 |
3.5 |
4.7 |
5.9 |
6.1 |
7.2 |
31 |
1.5 |
2.5 |
3.6 |
4.8 |
5.10 |
6.2 |
7.3 |
32 |
1.6 |
2.6 |
3.7 |
4.9 |
5.1 |
6.3 |
7.4 |
33 |
1.7 |
2.7 |
3.8 |
4. 10 |
5.2 |
6.4 |
7.5 |
34 |
1.8 |
2.8 |
3.9 |
4.1 |
5.3 |
6.5 |
7.6 |
35 |
1.9 |
2.9 |
3.10 |
4.2 |
5.4 |
6.6 |
7.7 |
36 |
1.10 |
2.10 |
3.1 |
4.3 |
5.5 |
6.7 |
7.8 |
36 |
1.5 |
2.4 |
3.2 |
4.4 |
5.6 |
6.8 |
7.9 |
38 |
1.6 |
2.5 |
3.3 |
4.5 |
5.7 |
6.9 |
7.10 |
39 |
1.7 |
2.6 |
3.4 |
4.6 |
5.8 |
6.10 |
7.1 |
40 |
1.8 |
2.7 |
3.5 |
4.7 |
5.9 |
6.1 |
7.2 |
Задание 1. Изобразить на комплексной плоскости заданные числа. Выполнить графически операции: z1 + 2z2, 3z3 – z4 , –2z5 +z2.
-
z1 = 2i, z2 = 3 + i, z3 = –1, z4 =3(cos +isin ), z5 = –1 +2i.
-
z1 = -3i, z2 = 4 – i, z3 =+ i, z4 =2(cos +isin ), z 5 = 2
-
z1 = -1+2i, z2 = -3i, z3 = 4 -3i, z4 = 3(cos +isin ), z 5 = -2,5
-
z1 = -4i, z2 = 5+2i, z3 =i, z4 = 4(cos +isin ), z 5 = -2
-
z1 = 3-2i, z2 = -3i, z3 = -1 + i, z4 = 2(cos +isin), z 5 = -1
-
z1 = 4+2i, z2 = 2–3i, z3 = 4i, z4 = 1(cos +isin ), z 5 = -3
-
z1 = 5– i, z2 = -3+2i, z3 = - i, z4 = 2(cos +isin ), z 5 = 3
-
z1 = 4+ i, z2 =2– 3i, z3 = -4i, z4 = 3(cos2+isin2 ), z 5 = 1,5
-
z1 = 3+2i, z2 = -3i, z3 =2– i, z4 = 2(cos +isin ), z 5 = 4
-
z1 = 2i, z2 = -1+ i, z3 = - i, z4 =3(cos+isin ), z 5 = -2,5
Задание 2. Найти значение выражения. Результат записать в трех формах. Изобразить результат на комплексной плоскости
2.1. а) б)
в) Найти f(1+i) , если
2.2. а) б)
в) Найти f (2i) , если
2.3. а)
в) Найти f (i), если
2.4. а)
в) Найти f (-2i), если
2.5. а)
в) Найти f (i),если f(z) =
2.6. а)
в) Найти f (2i), если
2.7. а)
в) Найти f (2i), если
2.8. а)
в) Найти f (i-1), если
-
а)
в) Найти f (3i), если
-
а)
в) Найти f (-2i), если .
Задание 3. Найти корни уравнения и изобразить их на комплексной плоскости:
3.1. а) z 5 + i – 1 = 0 б) z2 + z = 0 3.2. а) z3 +i – 1 = 0 б) z2 + |z| = 0
3.3. а) z4 +2-2i = 0 б) z2 = (|z| – 6)i 3.4. а) z4-1-i = 0 б) z2 + |z | = 4iJmz
3.5. а) z5 -1-i = 0 б) z|z | = 3 – 4i 3.6. а) z5-32-32i = 0 б) z|z | +2z + i = 0
3.7. а) z6 +6i = 0 б)2|z | + (2 – 4i)z = 1 – 5i 3.8. а) z4+16 =0 б) z2 – 3z = 0
3.9. а) z3+2+2i = 0 б) z2 + |z| = 2iJmz 3.10.а) z4 +1-i = 0 б) z|z | +4z + 3i = 0
Задание 4. Изобразить на комплексной плоскости область, заданную условиями
4.1. 4.2. 4.3.
4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
4.8. 4.9. 4.10.
Задание 5. Выполнить деление одного из многочленов на другой:
-
а) 2x5 + 6x +7 на x3 -2x +1; б) х6 на 1– х
-
3x7 – 2 на x2 –3x; б) х5 на 2 – х
-
2x5 – 4x на x3 – 4; б) х6 на х +2
-
7x6 -4x2 +5 на -7x3 +3x; б) х5 на х+1
-
2x5 -4x+ 6 на x2 –4; б) х6 на 2+х
-
7x7 + 2x2 -4 на 7x3 +4 ; б) х5 на х– 1
-
5x6 + x4 - x на 5x5 – 2; б) х5 на 2 – х
-
x8 +4x2-2 на x5 -4x+1; б) 4х5 на 1– х
-
x6+3x2 - 4x на x3 - 2x + 1; б) 3х5 на 2–х
-
x4 +2x3 + 3x на 2x2 – 4; б) 5х6 на 1– х
Задание 6. Разложить заданный многочлен на неприводимые множители:
-
x5 + x4 - 7x3 - 11x2 - 8x - 12
-
x5 - 2x4 - 5x3 - 8x2 - 14x -8
-
x5 +4 x4 - x3 - 10x2 - 6x -36
-
x5 - 3x4 + 5x3 -11x2 +20
-
x5 +x4 -4x3 -8x2 -32x -48
-
x5 +5x4 + 4x3 – 4x2 +3x – 9
-
x5 - x4 - 7x3 +11x2 -8x +12
-
x5 -3x4 + 2x3 - 2x2 +8
-
x5 - 2x4 - 6x3 - 6x2 - 7x - 4
-
x5 - x4 - 3x3 - 5x2 - 10x -6
Задание 7. Разложить дробь на сумму простейших:
7.1. 7.2.
7.3. a) 7.4.a)
7.5. a) 7.6. a)
7.7. a) . 7.8. a)
-
a) 7.10. a)
Вопросы для защиты темы:
Комплексные числа и многочлены.
1 уровень.
-
Дайте определение комплексного числа, его действительной, мнимой части. Как обозначают действительную и мнимую часть комплексного числа? Какую форму записи комплексного числа называют алгебраической?
-
Как геометрически можно изобразить комплексное число? Приведите пример. Какую плоскость называют комплексной плоскостью?
-
Какие числа называют комплексно-сопряженными, противоположными? Приведите примеры. Как геометрически изображаются эти числа?
-
Когда комплексные числа называются равными? Что означает каждое из утверждений: а) число равно нулю; б) число не равно нулю; в) числа и различны?
-
Как выполняются операции сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел в алгебраической форме? Приведите пример.
-
Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа z = x + yi. Как они обозначаются? Как найти модуль и аргумент? Приведите пример.
-
Как связаны между собой модули и аргументы комплексно сопряженных чисел, противоположных чисел?
-
Какие формы записи комплексного числа вы знаете? Как осуществляется переход от одной формы к другой? Приведите пример.
-
Какие из операций над комплексными числами удобнее выполнять в алгебраической форме?
-
Как выполняются операции умножения и деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме? Запишите формулу Муавра.
-
Какую операцию над комплексными числами можно выполнить только в тригонометрической или показательной форме? Определите эту операцию, приведите пример.
-
Какие операции над комплексными числами можно выполнить в любой форме записи? В каких случаях рациональнее воспользоваться той или иной формой записи? Приведите примеры.
-
Каков геометрический смысл выражения |z1 – z2|?
-
Опишите с помощью неравенства множество точек полуплоскости, расположенной справа от мнимой оси; ниже действительной оси.
-
Дайте определение многочлена (полинома) от одной неизвестной. Приведите пример многочлена 4-ой степени с действительными коэффициентами, пример многочлена нулевой степени.
-
Какие многочлены называются равными? Приведите пример.
-
Дайте определение суммы и произведения двух многочленов, произведения многочлена на число, приведите примеры.
-
Сформулируйте теорему о делении многочлена на многочлен с остатком, приведите пример. Дайте понятие неполного частного, остатка от деления многочленов.
-
Дайте определение корня многочлена. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число a есть корень многочлена.
-
Дайте определение простого и кратного корня многочлена. Приведите пример многочлена второй степени, имеющего простые корни; кратный корень.
-
Может ли многочлен с действительными коэффициентами иметь комплексные корни? Если да, то какие это корни?
-
Что значит – разложить многочлен на множители? Приведите пример.
-
Запишите общий вид разложения многочлена степени п на линейные множители. Когда многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами?
-
Какой многочлен называется неприводимым (неразложимым) на множестве действительных чисел? Приведите примеры неприводимых многочленов с действительными коэффициентами.
-
При каком условии многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на неприводимые множители первой и второй степени? Приведите пример.
-
Дайте понятие рациональной дроби. Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной? Приведите примеры.
-
Как выделить целую часть неправильной рациональной дроби? Приведите пример.
-
Какие рациональные дроби называют простейшими (элементарными)?
-
Сформулируйте алгоритм разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших.
2 уровень
-
Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть отрицательной? Приведите пример.
-
Найдите все числа, сопряженные своему квадрату.
-
Дайте геометрическое описание множества всех точек удовлетворяющих условию:
а) | z |>1 – Re z; б) z =`z; в) | z – i | = | z + 2|; г) | z –2i | £ 3.
д) | p –arg z | < ; е) z =`z.
-
При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен разности модулей слагаемых?
-
При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен сумме модулей слагаемых?
-
При каком условии квадрат комплексного числа есть а) действительное число, б) чисто мнимое число?
-
Выяснить, при каких условиях произведение двух комплексных чисел есть чисто мнимое число.
-
Докажите, что | z1 + z2 |2 +| z1 – z2 |2 = 2 (| z1|2+| z2 |2). Каков геометрический смысл этого неравенства?
-
Докажите, что . Каков геометрический смысл этого неравенства?
-
Докажите, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел.
-
Используя формулу Муавра, выразите через cosj и sinj функцию cos4j.
-
Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:
а) z = 1+ cos + i.sin; б) z = –cos + i.sin ;
в) z = 1 + cos2a + isin2a , < a < p г) z = 1 + itga, 0<a<.
-
Запишите в показательной форме числа:
а) sina –i cosa, 0<a< б) sina +i(1 – cosa), 0<a<.
-
Докажите формулы Эйлера , .
-
Докажите равенства:
а) ; б) ; в) z +`z = 2Re z; г) z –`z = 2i Im z.
16) Точки А и В изображают на комплексной плоскости числа z1 = 6 + 8i и z2 = 4 – 3i соответственно. Найдите хотя бы одно такое число z, чтобы изображающая его точка С лежала на биссектрисе угла АОВ.
17) Вычислить , где п – целое положительное число.
18) Чему равен , если ?
-
Может ли квадратное уравнение с действительными коэффициентами иметь корни 1 + i и 1-2i ?
-
Определить коэффициент а так, чтобы многочлен z5 – az2 – az + 1 имел число (-1) корнем кратности не ниже двух.
-
Многочлен z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами, если известен один корень z1 = –1 + i.
-
При каких значения А и В многочлен Az4 + Bz3 + 1 делится на многочлен (z - 1)2 без остатка?
-
При каком значении а число z = 2i является корнем многочлена z3 – (a + 1)z2 + 4аz + 8(а2 – 2)?
-
Определите a так, чтобы один из корней уравнения z3 –7z + a = 0 равнялся удвоенному другому.
-
Определите a, b, c так, чтобы они были корнями уравнения z3– az2 + bz+ c = 0
-
Постройте многочлен наименьшей степени, корнями которого являются числа: -1 и 2 – простые корни, 1 + i – двукратный.
-
Найдите необходимые и достаточные условия приводимости многочлена z4 + pz2 + q с действительными коэффициентами.
-
Докажите, что всякий многочлен третьей степени приводим на множестве действительных чисел.
-
Докажите, что число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна 0.
-
При каком значении а Î R число является корнем многочлена z3 – (a+3)z2 + 6a2z + a2 – 5. Найдите остальные корни этого многочлена при найденном значении а.
-
Решите уравнение z8 +6z4 +9 = 0.
-
Пользуясь схемой Горнера, вычислить Р(x0), если х0 =–2–i, P(x) = x5 +(1+2i)x4 – (1+3i)x2 +7.