2. Линейные пространства (лп)

1. Будет ли линейно независимой система векторов, содержащая два равных вектора? Почему?

2. Будет ли линейно независимой система векторов, содержащая нулевой вектор? Почему?

3. Образует ли ЛП множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых есть целые числа ?

4. Образует ли ЛП множество векторов V³ , лежащих на оси ОZ?

5. Образует ли ЛП множество векторов V² , лежащих на биссектрисе I и III координатных углов?

6. Образует ли ЛП множество векторов V³, исходящих из начала координат?

7. Образует ли ЛП множество всех произвольных квадратных матриц?

8. Образует ли ЛП множество всех матриц вида ?

9. Дайте определение ранга матрицы. Как изменится ранг матрицы, если переставить местами две ее строки или два столбца?

10. Как изменится ранг матрицы, если приписать к ней один столбец?

11. Как изменится ранг матрицы, если приписать к ней два произвольных столбца?

12. Составить матрицу, ранг которой равен 3.

13. Что можно сказать о квадратной СЛУ, если ее ранг меньше числа неизвестных?

14. Если система линейных неоднородных линейных уравнений имеет нетривиальное решение, то сколько всего имеет решений эта система? Приведите пример.

15. Что называется фундаментальной системой решений однородной СЛУ? Сформулируйте алгоритм нахождения ФСР.

16. Почему для нахождения общего решения однородной системы достаточно найти ФСР? Как записывается общее решение?

17. Дана СЛУ . Будет ли система,ФСР заданной СЛУ?

18. Дана СЛУ . Будет ли системаа₁ = (2,0,1), а₂ = (0,0,0) представлять ФСР заданной СЛУ?

19. Дана СЛУ. Будет вектора₁ = (2,0,1) представлять ФСР?

20. Что значит «разложить вектор по базису»? Разложите вектор с, изображенный на рисунке, по базису а,b

21. Разложите вектор с = (2,-3)по базису е₁=(2,1), е₂=(0,-4).

3.Векторная алгебра

22. Пусть . Верно ли , что? Приведите пример.

23. Какому условию должны удовлетворять векторы и, чтобы вектор+делил пополам угол между векторамии?

24. Как следует направить векторы а иb , чтобы длина а +b была наибольшей? Наименьшей?

25. Каким условиям должны удовлетворять векторы а иb, чтобы имели место соотношения и?

26. Коллинеарные ли векторы а иb, если векторыа +b иа –b параллельны?

27. Дайте определение произведения вектора на действительное число. При каких значениях k длина вектора ka (a  0) ,больше длины a? Меньше длины a?

28. При каких значениях m вектор a = (2,m) равен вектору ?

29. При каких значениях  точки А(3,2) и В(,-1) расположены на одной прямой, параллельной оси ОУ?

30. При каких значениях  точки А(3,2) и В(,-1) расположены на одинаковом расстоянии от оси ОУ?

31. Какой угол образует вектор a = (cos , sin) с i , c j? Какой это вектор?

32. Может ли вектор пространства составлять с осью ОХ угол 30^о , а с осью OZ угол 45^о ?

33. Каким условиям удовлетворяет угол между векторамиа иb, если ;?

34. Следует ли из равенства а е =b е, где е – единичный вектор, равенствоa = b?

35. Параллельны ли прямые, проходящие соответственно через точки (1,-1), (2,1), (3,5), (1,-3)?

36. Каков геометрический смысл равенства [a – b, a + b] = 2[a, b]?

37. Какому условию должны удовлетворять векторы a,b,c, если (a,b,c)>0? (a,b,c)<0?