84 |
Глава 4. Интегральные уравнения |
где
8
>
>
> (e s t + e 2+s+t)=2 + (t s + 1)es t; 0 s t 1;
<
K(s; t) =
>
>
> (e s t + e 2+s+t)=2 + (s t + 1)et s; 0 t s 1;
:
4.3Базисы с двойной ортогональностью
Является ли задача о нахождении решений уравнения (4.2.4) кор-
ректной?
597.Докажите, что задача о нахождении решений операторного уравнения первого рода с компактным оператором является некорректной.
598.Найдите необходимые и достаточные условия голоморфной продолжимости из меньшего круга в больший и укажите точное и приближенные решения.
599.Найдите необходимые и достаточные условия продолжимости голоморфной функции класса Лебега L2(Br) до голоморфной функции класса Лебега L2(BR) и укажите точное и приближенные решения.
4.4Элементы наилучшего приближения
600. В пространстве C[0; 1] найти расстояние от элемента
x0(t) = t до подпространства многочленов нулевой степени.
Найти элемент наилучшего приближения.
4.4. Элементы наилучшего приближения |
85 |
601. В C[0; 1] найти элемент наилучшего приближения для
x0(t) = t2 элементами подпространства многочленов степени 1:
602. В C[0; 1] рассмотрим подпространство
L = fx(t) 2 C[0; 1] : x(0) = 0g:
Пусть x(t) 1: Описать множество элементов наилучшего приближения x элементами L.
603. Доказать, что в пространстве c2 множество элементов наилучшего приближения элемента x = 10 элементами
подпространства L = f 0 ; 2 Rg имеет вид x = 0 ; где
2 [ 1; 1]:
604.Пусть X – линейное нормированное пространство, L –
подпространство X, x 2 X и существует более одного элемента наилучшего приближения x элементами L. Доказать, что таких элементов бесконечно много.
605.Пусть L – одномерное подпространство в гильбертовом пространстве H, a 2 L и a 6= 0: Доказать, что для любого
x 2 H выполнено равенство
(x; L?) = j(x; a)j: jjajj
606. В пространстве `2 найти расстояние n(x; L) от элемента x = (1; 0; 0; : : : ; 0; : : :) до подпространства
L = (x 2 `2; x = (x1; x2; : : :) : |
n |
xk = 0) |
: |
|
X |
|
|
|
k=1 |
|
|
Чему равен lim n(x; L)? |
|
|
|
n!1 |
|
|
|
86 |
Глава 4. Интегральные уравнения |
В задачах 607-609 найти элемент наилучшего приближения для x0(t) = t3 элементами подпространства L L2[0; 1]:
607.L – подпространство многочленов нулевой степени.
608.L – подпространство многочленов степени 1:
609.L – подпространство многочленов степени 2:
4.5Теорема Гильберта-Шмидта
В пространстве L2[a; b] найти ортонормированный базис, состоящий из собственных функции 'n оператора
2
R
610. sin(t + s)x(s)ds.
0
R
611. cos(t + s)x(s)ds.
0
1
612. R (2st 4t2)x(s)ds.
0
1
613. R (st + s2t2)x(s)ds.
1
1
614.R ( P 2 n sin nt sin ns)x(s)ds.
0 n=1
1
R
615. K(t; s)x(s)ds, где
0
8
>t; при 0 t s 1;
<
K(t; s) =
>s; при 0 s t 1:
:
4.5. Теорема Гильберта-Шмидта |
87 |
2
R
616. K(t; s)x(s)ds, где
0
8
<
>sin t cos s; при 0 t s ;
K(t; s) = 2
:
>sin s cos t; при 0 s t :
2
1
R
617. K(t; s)x(s)ds, где
0
8
>s(t + 1); при 0 t s 1;
<
K(t; s) =
>t(s + 1); при 0 s t 1:
:
1
618. R ejt sjx(s)ds.
0
1
R
619. K(t; s)x(s)ds, где
0
8
> t 1; при 0 t s;
<
K(t; s) =
> s 1; при s t 1:
: