133

2.9Лекция 16

2.9.1Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций

Дифференциальные уравнения – одна из основных областей, где применяется теория обобщенных функций. Именно задачи, связанные с уравнениями, в значительной мере и стимулировали развитие этой теории. В основном она применяется к уравнениям в частных производных, которые мы здесь не рассматриваем. Однако мы коснемся здесь некоторых простейших вопросов, относящихся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Начнем с простейшего уравнения вида

y0 = f(x);

где f(x) – обобщенная функция, то есть с задачи о восстановлении функции по ее производной. Начнем со случая f(x) 0:

Теорема 2.9.1. Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения

(2.9.1)

y0 = 0:

Доказательство. Уравнение (2.9.1) означает, что

(2.9.2)

(y0; ') = (y; '0) = 0

для любой основной функции ' 2 C01(R). Рассмотрим совокупность K(1) тех основных функций, каждая из которых может быть представлена как производная какой-то основной функции. Очевидно, что K(1) есть линейное подпространство в C01(R). Положим

134

'1(x) = '0(x); функция '1 пробегает K(1); когда ' пробегает

C01(R). Равенство (2.9.2) определяет функционал y на K(1). Заметим теперь, что основная функция ' принадлежит K(1) в

том и только том случае, если

		1
(2.9.3)		Z	'(x) dx = 0;
		1
				1
то есть K(1) – ядро функционала R1						'(x) dx: Действительно, если
'(x) = 0(x); то
	1					(x) 11
(2.9.4)	Z	'(x) dx =					= 0:
	1
Обратно, выражение
				x
(2.9.5)		(x) =		Z	'(t)dt

1

есть бесконечно дифференцируемая функция. Если (2.9.3) выполнено, то (x) – финитная функция. Ее производная равна '(x):

Любую основную функцию ' 2 C01(R) можно представить в виде

' = '1 + c'0 ('1 2 K(1));

где '0 – фиксированная основная функция, не принадлежащая K(1)

и удовлетворяющая условию

1

Z

'0(x) dx = 1:

1

Для этого достаточно положить

1

Z

c = '(x) dx и '1(x) = '(x) c'0(x):

1

135

Таким образом, если задать значение функционала y на основной функции '0(x); то тем самым он будет однозначно определен на всем C01(R). Положив (y; '0) = ; получим

1	1
(y; ') = (y; '1) + c(y; '0) = Z	'(x) dx = Z	'(x) dx;
1	1

то есть обобщенная функция y есть постоянная , что и требовалось доказать. Отсюда следует, что если для двух обобщенных функций f и g

выполнено равенство f0 = g0, то f g = const:

Рассмотрим теперь уравнение

(2.9.6)

y0 = f(x);

где f(x) – произвольная обобщенная функция.

Теорема 2.9.2. Уравнение (2.9.6) при каждом f 2 (C01(R))0

имеет решение, принадлежащее (C01(R))0.

Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции f.

Доказательство. Уравнение (2.9.6) означает, что

(2.9.7) (y0; ') = (y; '0) = (f; ')

для любой основной функции ' 2 C01(R). Это равенство определяет значение функционала y на всех основных функциях '1 из K(1):

(y; '1) =	0f;		1	'1( )d 1 :
	@		Z	A
		1

Используем теперь полученное выше представление

' = '1 + c'0

136

элементов из C01(R): Положив (y; '0) = 0; мы доопределим тем самым функционал y на всем C01(R); именно,

(y; ') = (y; '1) =	0f;		x	'1( )d 1 :
	@		Z	A
		1

Этот функционал, как легко проверить, линеен и непрерывен. Кроме того, он удовлетворяет уравнению (2.9.6). Действительно, для всякого ' 2 C01(R)

(y0; ') = (y; '0) = 0f;	x	'0( )d 1 = (f; '):
@	Z	A

1

Итак, для каждой обобщенной функции f(x) существует решение уравнения

y0 = f(x);

то есть каждая обобщенная функция имеет первообразную. В силу теоремы 2.9.1 эта первообразная определяется функцией f(x)

однозначно с точностью до постоянного слагаемого. Полученные результаты легко переносятся на системы линейных уравнений. Ограничимся здесь соответствующими формулировка-

ми, опуская доказательства.

Рассмотрим однородную систему n линейных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями

	n
	X
(2.9.8)	yi0 = aik(x)yk; i = 1; : : : ; n;

k=1

где aik – бесконечно дифференцируемые функции. Такая система имеет некоторое количество "классических" решений (т. е. решений, представляющих собой "обычные", причем бесконечно дифференцируемые функции). Можно показать, что никаких новых решений в классе обобщенных функций система (2.9.8) не имеет.

137

Для неоднородной системы вида

	n
	X
(2.9.9)	yi0 = aik(x)yk + fi; i = 1; : : : ; n;

k=1

где fi – обобщенные, а aik – "обычные" бесконечно дифференцируемые функции, решение существует в классе обобщенных функций и определяется с точностью до произвольного решения однородной системы (2.9.8).

Если в системе (2.9.9) не только aik; но и fi – "обычные" функции, то все решения этой системы, существующие в (C01(R))0, также оказываются обычными функциями.

Выше мы рассматривали обобщенные функции одного действительного переменного, то есть обобщенные функции на прямой. Можно на основе тех же идей ввести обобщенные функции на ограниченном множестве, скажем, на отрезке или окружности, обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента и т. д. Наконец, и для обобщенных функций на прямой то определение, которое было дано выше, – далеко не единственно возможное. В следующей лекции мы вкратце рассмотрим обобщенные функции нескольких вещественных переменных.