- •I курс, I семестр Линейная алгебра
- •Теоретический курс
- •1.Матрицы. Виды матриц.
- •2.Действия над матрицами.
- •7.Метод Крамера.
- •8.Матричный метод.
- •9.Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач.
- •Расчётно-графическая работа №1.
- •Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
- •Теоретический курс.
- •Аналитическая геометрия
- •Примеры решения задач.
- •Расчетно-графическая работа №2.
Расчётно-графическая работа №1.
Задача 1. Найдите матрицу по известным матрицамА и В и проверьте равенство .
Задача 2. Найдите произведение матриц С и D .
Задача 3. Решите матричное уравнение и сделайте проверку решения.
Задача 4. Решите систему линейных уравнений по формуле Крамера и методом обратной матрицы.
Задача 5. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений и сделайте проверку решения.
Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
1.Вектор. Виды векторов. Характеристики вектора.
2.Действия над векторами.
3.Координаты вектора. Действия над векторами в координатной форме.
4.Скалярное произведение векторов.
5.Векторное произведение векторов.
6.Смешанное произведение векторов.
7.Способы задания прямой на плоскости.
8.Уравнение плоскости и прямой на плоскости.
9.Уравнения прямой в пространстве.
10.Угол между прямой и плоскостью.
11.Расстояние от точки до плоскости.
Теоретический курс.
Вектор - упорядоченная пара точекА и В, где А называется началом вектора, а В – концом, т.е. вектор - это направленный отрезок, поскольку порядок на множестве концов создает определенное направление.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается .
Длина вектора вычисляется по формулам:
, где А(х1;у1) ; В(х2;у2)
или
, где а(х;у)
Векторы называются коллинеарными, если их линии действия параллельны.
Координатами вектора называются числа
х=х2-х1 и у=у2-у1 , если А(х1;у1) ; В(х2;у2)
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.
Три вектора, расположенные в пространстве, называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.
Чтобы найти координаты середины отрезка (вектора), необходимо соответственные координаты сложить и разделить на два.
Например:
A(x1;y1) C(x;y) B(x2;y2)
Суммой векторов иназывается вектор, соединяющий начало векторас концом векторапри условии, что начало векторасовпадает с концом вектора. Данное правило называется правилом треугольника.
Чтобы найти координаты суммы векторов, необходимо соответствующие координаты сложить :
Произведением вектора на число n называется вектор, коллинеарный вектору и имеющий длину, равную, направление которого совпадает с направлением вектора, еслиn>0, и противоположно направлению вектора , еслиn<0.
Чтобы найти координаты вектора , умноженного на число, необходимо соответственные координаты умножить на это число:
Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Угол между векторами ивычисляется по формуле:
где
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответственных координат
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом , для которого выполняются условия:
1.Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.
2.Вектор перпендикулярен плоскости векторов
3. Упорядоченная тройка векторов - правая
Пусть - векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе , тогда разложение векторного произведения в том же базисе имеет вид:
Пусть , тогда
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число (векторное произведение , скалярно умноженное на вектор ).
Пусть в правом прямоугольном базисе заданы векторы. Смешанное произведение этих векторов вычисляется по формуле:
;
т.е. смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат данных векторов.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
С помощью смешанного произведения можно найти объем пирамиды. Необходимо знать координаты вершин пирамиды.
Пусть , тогда находим координаты векторов и подставляем в формулу: