Контрольные задания

По номеру своего варианта вычислить один из приведённых ниже определённых интегралов с относительной погрешностью не превышающей 0.001. Для вычисления интеграла использовать один из описанных в этом разделе метод.

1. . 2.. 3.. 4..

5. . 6.. 7..

8. . 9. . 10. . 11. .

12. . 13. . 14. .

15. . 16.. 17.. 18..

19. . 20.. 21..

22. . 23.. 24.. 25..

26. . 27.. 28..

29. . 30..

2. Решение нелинейных уравнений Справочная информация

Как известно, далеко не всякое алгебраическое уравнение

может быть решено аналитически. Это относится к большинству трансцендентных уравнений и к алгебраическим уравнениям выше четвёртого порядка. Однако точное решение уравнений на практике часто и не требуется. Чтобы считать задачу решённой, достаточно бывает отыскать значения корней с требуемой степенью точности. Для получения таких решений разработаны численные методы.

Р

Рис.1.

ешение нелинейных уравнений осу­­­ществляется в два этапа. На первом этапе производится отделение корней, то есть поиск достаточно малых отрезков локализации, каждый из которых содержит только один корень урав­нения. При этом желательно, что­бы на каждом из них функцияf(x) была монотонна вместе со своей первой и второй производными. Для этого используется график функции y = f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс соответствуют корням исходного уравнения. Случай, когда корнем уравнения является точка касания графика и оси абсцисс, здесь не рассматривается. Всё это позволяет выделить отрезки [a, b], содержащие только один корень (см. рис 1). При этом для непрерывной функции f(x) будет выполняться неравенство f(a)·f(b) < 0.

На втором этапе внутри выделенных отрезков вычисляются значения каждого из корней уравнения с заданной точностью. Для этого используются два основных итерационных подхода: последовательное уточнение первоначального приближения значения корня, взятого из выделенного отрезка, и сужение выделенного отрезка, содержащего корень.

Методы последовательного уточнения начального приближенного значения корня. К этим методам относятся метод простых итераций, метод Ньютона и ряд других. Они обладают высокой эффективностью, но их применение связано с рядом ограничений, накладываемых на свойства функции f(x).

Метод простых итераций Метод основывается на приведении исходного уравнения к форме

.

Это преобразование может быть выполнено многими способами. Например, уравнение

может быть преобразовано как

или .

Далее процесс уточнения корня строится по итерационной схеме

…………

……………

где x₀ – начальное приближенное значение корня на отрезке [a, b].

Если последовательность значений x_k (k = 0, 1, 2,...) имеет конечный предел, то итерационный процесс сходится к точному значению корня x_т за бесконечно большое число шагов. Абсолютная и относительная погрешности найденного значения корня x_k на k-ом шаге могут быть получены из выражений

, ,

где

, ,.

Первое из этих выражений может иметь другие формы записи

, .

Приведённые формулы для вычисления погрешностей требуют решения дополнительной задачи поиска максимума модуля первой производной функции φ(x) на отрезке локализации корня [a, b]. В связи с этим на практике итерации завершают при выполнении одного из условий:

или ,

где δ_абс и δ_отн – задаваемые абсолютная и относительная разницы между соседними значениями приближения корня, соответственно. В этом случае надо помнить, что истинная погрешность определения корня может заметно отличаться от δ_абс или δ_отн. Поэтому после завершения поиска корня необходимо вычислить истинное значение погрешности решения по приведённым формулам для ε_абс или ε_отн.

Может случиться так, что последовательность приближённых значенийx_k (k = 0, 1, 2, ...) корня x_т не имеет предела. В этом случае метод расходится, и описанная итерационная схема не может быть применена для решения уравнения. Анализ выражения для ε_абс позволяет сформулировать условие сходимости итераций. Очевидно, для того, чтобы погрешность ε_абс при стремлении k к бесконечности стремилась к нулю и итерации сходились к точному решению, надо обеспечить выполнение следующего неравенства

,

которое на практике обычно заменяется на упрощённое

.

Процесс уточнения корня уравнения методом простых итераций может быть проиллюстрирован графически.

Рис.2. Рис.3.

Как видно на рис.2, для выбранной на отрезке [a, b] начальной точки x₀ вычисляется значение функции  (x₀). Абсцисса этой точки с помощью графика функции y = x преобразуется в новое приближение переменной x₁. Далее процесс повторяется, и находятся значения x₂, x₃,..., x_k,... до тех пор, пока не будет выполнено условие завершения итерационного процесса. В данном случае итерационный процесс сходится. На рис.3 показана ситуация, когда метод итераций расходится. Каждое новое значение x_k отстоит всё дальше от точного решения уравнения x_т и заданная погрешность вычисления недостижима. Такая ситуация характерна для неудачного преобразования уравнения f(x) = 0 к уравнению x =  (x).

Исходя из этого, можно указать способ преобразования исходного уравнения f(x) = 0 к форме, обеспечивающей сходимость итераций. Он основан на том, что исходное уравнение равносильно уравнению x = x + λ f(x), где λ – отличная от нуля произвольная постоянная, которая выбирается из приближённого условия сходимости итераций , считая (x) = x + λ f(x).

Рассмотрим работу метода на примере поиска приближённого значения корня уравнения

x³– 7.3x²+16.8x – 12.2 = 0,

лежащего на отрезке [1, 2], и оценки погрешности его определения.

На первом этапе необходимо построить график левой части уравнения, для чего вычисляются её значения в трёх базовых точках

f(1.0) = 1.0³ – 7.3·1.0² + 16.8·1.0 – 12.2 = – 1.70,

f(1.5) = 1.5³ – 7.3·1.5² + 16.8·1.5 – 12.2 = – 0.05,

f(2.0) = 2.0³ – 7.3·2.0² + 16.8·2.0 – 12.2 = 0.20.

К

Рис.4.

ак видно из рис.4, в качестве начального приближения корня рассматриваемого уравнения можно взятьx₀ = 1.5. Следуя алгоритму метода итераций, требуется преобразовать исходное уравнение к виду

x = x + λ(x³– 7.3x²+16.8x – 12.2).

Здесь

φ(x) = x + λ(x³– 7.3x²+ 16.8x – 12.2),

а

= 1 + λ(3x²– 14.6x + 16.8).

Для нахождения значения множителя λ можно воспользоваться условием сходимости метода

.

Отсюда –1 < 1 + 1.65λ < 1,

–2 < 1.65λ < 0,

–1.212 < λ < 0,

что позволяет выбрать λ = –0.6.

С использованием в качестве начального значения x₀ = 1.5 выполняется первая итерация

x₁ = 1.5 – 0.6(1.5³– 7.3·1.5²+16.8·1.5 – 12.2) = 1.53.

Выполнение второй итерации даёт следующий результат

x₂ = 1.53 – 0.6(1.53³– 7.3·1.53²+16.8·1.53 – 12.2) = 1.5318,

а третья и четвёртая итерации соответственно дают

x₃ = 1.5320, x₄ = 1.53202.