- •Е.А.Коган
- •и естественно-научным дисциплинам
- •Москва 2010
- •Настоящее пособие посвящено двум важным и тесно связанным между собой разделам математики: обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.
- •Подробное изложение теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях, некоторые из которых, рекомендуемые студентам втузов для самостоятельного изучения, приведены в списке литературы.
- •1.1. Основные понятия
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Поэтому общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни
- •при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти его общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •Таким образом, изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат, причëм угловые коэффициенты касательных к искомым интегральным кривым равны радиусам этих окружностей С.
- •Очевидно, это уравнение с разделëнными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Тогда
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •называется приводящимся к однородному. В частности, к этому классу относится уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Общее решение уравнения примет вид
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Подставляя (1.19) и (1.20) в (1.16), получим общее решение уравнения (1.12) в виде (1.15).
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.18) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.17) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.19), но произвольную постоянную в (2.19) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.20) в (2.17), получим
- •В качестве практического примера применения метода понижения порядка рассмотрим задачу об осесимметричном изгибе упругих круговых пластин.
- •Определителем Вронского или вронскианом называется функциональный определитель вида:
- •Поэтому теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка может быть переформулирована так:
- •а общее решение запишется в виде
- •Если известно общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего заданному неоднородному, то его частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (2.66), находим
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Интегрируя уравнения (2.71), находим
- •Подставляя (2.72) в (2.70), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.90) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.92) имеет вид
- •Вычисляем
- •Раскрывая определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.103) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.101), (2.102). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.104) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Убедимся в этом на примере системы двух уравнений относительно двух неизвестных функций
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Пример. Решить методом Эйлера систему
- •Характеристическое уравнение системы
- •Общее решение однородной системы (3.18) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Принимаем частное решение системы (3.31) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (4.12).
- •Решение методом Бубнова
- •Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
128
Рис. I.19
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
при граничных условиях: |
|
|
EIyIV |
= q |
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
||
|
(0) = 0, |
y(l) = y |
|
(l) = 0. |
(4.12) |
||||||||
y(0) = y |
|
||||||||||||
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|||
Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать |
|||||||||||||
решение уравнения в виде |
|
|
|
= a sin πx |
|
|
|
|
3πx |
|
|
||
y = a U |
|
+ a U |
|
+ a |
|
|
sin |
. |
(4.13) |
||||
1 |
2 |
2 |
|
||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
l |
|
|
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (4.12).
Подставляя (4.13) в уравнение (4.11), получим невязку
r(x,a |
,a |
) = |
EIπ 4 |
|
|
sin |
πx |
+81 a |
|
sin |
3πx |
−q . (4.14) |
|
l4 |
a |
l |
|
l |
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
Решение методом Бубнова
Из условия ортогональности невязки (4.14) к выбранным координатным функциям согласно (4.7) следует
l |
EIπ 4 |
|
πx |
+81a2 sin |
3πx |
|
πx |
dx = 0, |
||||||||
∫ |
l |
4 |
a1 sin |
l |
|
l |
|
−q sin |
l |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l |
EIπ 4 |
πx |
+81a2 sin |
3πx |
|
3πx |
dx = 0. |
|||||||||
∫ |
|
l |
4 |
a1 sin |
|
l |
|
l |
−q sin |
l |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После интегрирования получим систему
129
|
|
1 a1 − |
8ql5 |
|
|
|
= 0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
π EI |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
81 |
|
|
2ql5 |
|
|
|
||||||
|
|
l a2 |
− |
|
= 0, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
3π |
5 |
EI |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решая которую, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ql4 |
|
a = |
16ql |
4 |
, |
|
a |
2 |
|
= |
|
. |
||||
π |
5EI |
|
|
243π5EI |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя a1 и a2 |
в искомое решение (4.13), получим при |
x = l / 2
ymax = y(l / 2) = 0,01301 ql4 .
EI
Точное значение максимального прогиба (с точностью до четырех значащих цифр) равно
ymax = y(l / 2) = 0,01302 |
ql4 |
. |
(4.15) |
|
EI |
||||
|
|
|
Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.
Решение методом наименьших квадратов
Решение по-прежнему отыскиваем в форме (4.13). Интегральная квадратичная ошибка согласно (4.8) будет равна
S(a1,a2,...,an ) = ∫b r2(x,a1, a2 , ,an )dx =
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
EIπ 4 |
|
|
|
|
πx |
+81 a2 sin |
3πx |
|
|
|
2 |
dx = |
|
|
|
||||||||||||
= ∫ |
l |
4 |
a1 sin |
|
l |
|
|
l |
|
−q |
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
EIπ |
4 |
2 |
1 |
a |
2 |
|
|
812 |
a |
2 |
|
ql4 |
|
|
|
4 |
a |
|
|
108 |
a |
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
− |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
2 |
. |
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
l |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
EIπ |
|
|
π |
1 |
|
π |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычисляя производные dS / da1, |
dS / da2 |
и приравнивая их |
нулю, получим систему
130
π a |
− |
4ql4 |
= 0, |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
π |
4 |
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ql4 |
|
||
|
2 |
π a2 |
|
|
|
|
|||||
81 |
−108 |
|
|
|
= 0, |
||||||
π |
4 |
EI |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение которой даëт те же значения постоянных a1 и a2 , что и в методе Бубнова:
a |
= |
16ql4 |
, |
a |
|
= |
4ql4 |
. |
π5EI |
|
243π5EI |
||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Поэтому результаты решения краевой задачи (4.11), (4.12) методами Бубнова и наименьших квадратов полностью совпадают.
Решение методом коллокаций
За точки коллокации выбираем точки x1 = l / 3 и x2 = l / 2.
Приравнивая нулю невязку (4.14) в точках коллокации, получим систему
|
|
|
|
|
|
|
ql4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
3 − |
|
|
|
= 0, |
||||||
a1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π EI |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
−81a |
2 |
− |
ql4 |
= 0. |
|||||||
|
4 |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
EI |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате находим |
2ql4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
ql4 |
|
||||
a = |
|
, |
a |
|
= |
3 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
3π 4 EI |
|
|
2 |
|
81 |
|
3 π 4 |
EI |
|
||||
По формуле (4.13) при x = l/2 |
с учётом найденных ко н- |
||||||||||||||
стант получим прогиб в среднем сечении балки |
|
|
y(l / 2) = 0,01183 ql4 .
EI
Сравнение с точным решением (4.15) показывает, что ошибка, полученная при использовании метода коллокаций, составляет примерно 9% .