- •Завражин а.В. Логика Учебное пособие
- •СОдержание
- •§2. Предмет логики
- •§3. Понятие логической формы
- •§4. Логическое следование и логическая истинность
- •Тест для проверки знаний по теме « Предмет логики»
- •Глава II. Логика и язык
- •§1. Язык как знаковая система
- •§2. Смысл и значение знака. Виды знаков
- •§3. Естественные и искусственные языки
- •§4. Семантические принципы
- •§5. Язык логики высказываний
- •§6. Основные законы логики
- •§7. Логико-семантические парадоксы
- •Тесты для проверки знаний по теме « Логика и язык»
- •Глава III . Понятие
- •§1. Общая характеристика понятий. Виды понятий
- •1) Виды понятий по объему
- •2) Виды понятий по типу элементов объема
- •3) Виды понятий по содержанию
- •§2. Булевы операции над понятиями
- •§3. Отношения между понятиями по объему
- •§4. Обобщение и ограничение понятий
- •§5. Деление и классификация
- •Тесты для проверки знаний по теме «Понятие»
- •Глава IV. Определение
- •§1. Определение и приемы, сходные с ним
- •§2. Явные и неявные определения
- •§3. Реальные и номинальные определения
- •§4. Правила определения
- •Тест для проверки знаний по теме «Определение»
- •Глава V. Суждение
- •§1. Простые суждения и их виды
- •§2. Сложные суждения и их виды
- •§3. Отрицание суждения
- •§4. Отношения между суждениями
- •I субконтрарностьО
- •Тесты для проверки знаний по теме «Суждение»
- •Глава VI. Дедуктивные умозаключения
- •§1 Умозаключение. Основные способы умозаключений
- •В (отрицающе-утверждающий способ)
- •§2. Классическое исчисление высказываний
- •§3. Непосредственные умозаключения
- •§4. Простой категорический силлогизм
- •§5. Энтимемы и полисиллогизмы
- •Тесты для проверки знаний по теме «Дедуктивные умозаключения»
- •Глава VII. Индуктивные умозаключения
- •§1. Обобщающая индукция и ее виды
- •§2. Статистическая индукция
- •§3. Методы установления причинных зависимостей
- •§4. Умозаключение по аналогии
- •Тест для проверки знаний по теме «Индуктивные умозаключения»
- •Глава VIII. Логические основы аргументации
- •§1. Аргументация и доказательство
- •§2. Опровержение и критика
- •§ 3. Основные правила аргументации
- •Тест для проверки знаний по теме «Логические основы аргументации»
- •Словарь логических терминов
- •Литература
§5. Язык логики высказываний
Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:
1) пропозициональные переменные – p, q, r, s, ...
2) пропозициональные связки – , &, , , ,
3) скобки – ( … )
4) запятая - ,
Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:
– отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)
& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)
– дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)
– строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)
– импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)
– эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)
Формулами в языке КЛВ называют значимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.
Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если А и В – формулы, то А, А&В, АВ, АВ, АВ, АВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.
Упражнение 1. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:
а) p q & r s & q p s q r
б) p & q r & s q p s q & r
Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, розначает «Иван-царевич любит Марью»,q– «Марья любит Ивана-царевича»,r– «Марья красивая»,s– «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:
– «Иван-царевич храбрый и любит Марью»s & p
– «Неверно, что Марья некрасивая
или Иван-царевич ее не любит»(r p)
– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,
то они любят друг друга»(r&s) (p&q)
Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:
Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.
Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.
Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:
p |
q |
p |
p&q |
pq |
pq |
pq |
pq |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Иван-царевич и Марья любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) (pq).
Алгоритм построения таблицы истинности:
Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n, где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).
Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных1.
Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).
p |
q |
p |
q |
p&q |
pq |
(pq) |
(p&q) (pq) |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.
В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.
Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.
Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.
Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».
В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.
Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:
а) (pq)(pq)
б) (pq)(qp)
в) (pq) (p q)