41_5_Econometrics_Polyansky__Part_5

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Задача 5.2

По данным о курсе доллара США в июне 1999 го-

да (рис.5.7):

1) выявить с помощью теста Г.Чоу, стабильна ли тенденция временного ряда (в рамках линейной моде- ли) в указанный период;

2) принять решение о целесообразности объеди-

нения данных в одну выборку или их разделения по участкам при построении парной линейной регрессии; 3) спрогнозировать курс доллара на 2 июля 1999 г.

Решение.

На различных участках анализируемого периода

тенденция временного ряда может существенно менять-

ся. Поэтому в практике эконометрических исследований

часто возникает вопрос,

рассматривать ли ряд на всем

участке как единое целое или разбить его на части.

От

этого зависит точность прогноза.

1) Прежде всего оценим исходные данные визу-

ально (рис.5.8). Как видно по рисунку, скорость падения

курса доллара за анализируемый период несколько из-

менялась. Приблизительно до

17

июня доллар дешевел

на 2-3 копейки в день,

а после

–

темпы падения немного

снизились. Насколько существенно это снижение со ста-

тистической точки зрения?

Пусть строится парная линейная модель тренда

ряда. Предварительно разделим весь анализируемый пе-

риод на два участка: 1-й

– 1…17

июня, 2-й – 17…30

июня. Нужно ли рассматривать эти участки самостоя-

тельно или можно строить обобщенную модель за весь

Рис. 5.7

месяц?

Здесь может помочь тест Г.Чоу (см. задачу 4.3), применяющийся для

сравнения двух выборок

(в данном случае - участков ряда).

Используя инструмент «Регрессия»

пакета анализа

Microsoft Excel (не

забудьте вывести остатки!), построим и оценим линейные модели для всего

анализируемого периода и каждого его участка в отдельности.

Линейная модель для всего периода времени

(1…30

июня):

ˆ

=

24,397

−

0,0073

t ,

tb

=

13,01

>

t0 ,95 ; 28

=

2 ,05 ,

y( t )

2

ˆ

2

r =0 ,926 , R

=0 ,853 ,

F = 169 ,26 > F0 ,05 ;1 ;28 = 4 ,20 , A =0 ,088% .

=0 ,858 , R

115

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Линейная модель для 1-го участка (1…17

июня):

ˆ

=

24,439

−

0,0124

t ,

tb

=

22,01

>

t0 ,95 ;15

=

2,13 ,

y( t )

2

ˆ

2

r =0 ,985

, R

=

0 ,970

=0 ,968 ,

F = 484 ,45 > F0 ,05 ;1 ;15

= 4 ,45 , A =0 ,037% .

, R

Линейная модель для 2-го участка (18…30

июня):

y(ˆ

t ) = 24,253 − 0,0012 t ,

tb

= 5 ,82 > t0 ,95 ;12

= 2 ,18 ,

2

ˆ

2

r =0 ,867 ,

R

=

=0 ,727 , F

= 33,00 > F0 ,05 ;1 ;12 = 4 ,75 , A =0 ,0083% .

0 ,750 , R

Как видно, все эти модели в целом довольно точны и статистически

значимы,

как и их коэффициенты регрессии. При этом показатели качества

и значимости для второго участка не очень высоки, т.к.

невелика выборка.

Пользуясь предсказанными в пакете анализа значениями объясняемой

переменной,

нанесем линии всех 3-х регрессий на общий рисунок вместе с

наблюдаемыми значениями (рис.5.8).

построенные отдельно для 1-го и 2-го

Визуально видно,

что модели,

участков

ряда,

точ-

нее

аппроксимиру-

ют

наблюдаемые

значения,

чем обоб-

щённая модель.

Од-

нако

линия

2-го

участка

все-таки

определяет

лишь

очень

краткосроч-

ную

тенденцию

в

поведении

времен-

ного ряда

(начиная с

18 июня),

не учиты-

вая

более

ранние

изменения курса

(до

17 июня).

зя

Поэтому нель-

Рис. 5.8

без

предвари-

тельной

оценки

од-

нородности выборок делать выводов о предпочтительности той или иной

модели.

Выдвигаем нулевую гипотезу

H

0

о статистической однородности

этих двух выборок. Воспользуемся формулой критерия Г.Чоу:

F =( Se −Se( 1) −Se( 2 ) )(n−2p−2),
( S( 1 ) +S( 2 ) )( p+1)
e	e

116

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

где Se( 1 ) =∑17

( ei( 1 ) )2 , Se( 2 ) =∑13

( ei( 2 )

)2 ,

Se =∑30

ei2

- остаточные суммы

i=1

i =1

i =1

(кстати,

квадратов соответственно для

1-й, 2-й и объединенной выборок

возьмем их из таблиц «Вывод остатка»

инструмента

«Регрессия»

Пакета

анализа). Расчеты дают значения

∑n1

( ei( 1 ) )2 =0 ,00195074 ,

∑n

( ei( 2 ) )2

=0 ,0000821 ,

∑n

ei2

=0 ,02007506 .

i =1

i =n1 +1

i =1

= 3,37 , то

Т.к. в результате

F = 115 ,382 > F0 ,05 ;1+1 ;30 −2 1− 2 = F0 ,05 ;2 ;26

есть основания отвергнуть нулевую гипотезу о статистической однородно-

сти выборок. Изменения в тенденции курса доллара существенные.

2) На основании этого делаем вывод, что в рамках парной линейной

регрессионной модели целесообразнее не объединять данные

1-го и 2-го

участков, а строить отдельно для каждого свою модель.

3) Поэтому для краткосрочного прогнозирования (1…5

дней) целесо-

образней выбрать модель,

построенную для периода

18…30

июня.

В полученное уравнение подставим значение t = 13 + 2 = 15 :

ˆ

=

24,253 - 0

,0012

15

=

24,24 руб.

y( 15 )

г.

курс составлял

В действительности по состоянию на 2 июля

1999

24,21 руб. Реальная относительная ошибка получилась очень малой:

( 24 ,236 - 24 ,21 ) / 24,21

100% = 0 ,012% .

Реальная

абсолютная ошибка 24,24

- 24,21 = 0,03 руб. = 3 коп.

Если же прогнозировать по модели для всего участка 1…30

июня, то

ˆ

=

24,397 - 0

,0073

32

=

24,16 руб.

y( 32 )

и реальная относительная ошибка

Реальная

( 24 ,16 - 24,21 ) / 24 ,21

100% = 0 ,020%.

абсолютная ошибка 24,16 – 24,21 = - 0,05 руб. = - 5 коп.

Видно, что 2-я модель даёт более точный прогноз.

!Замечания.

•В исследованиях следует учитывать, что кроме линейной могут исполь- зоваться и многие нелинейные регрессионные модели, которые могут дать и бо- лее лучшие результаты. Подходы к определению тенденций при этом аналогичны.

•Подобный подход оправдан лишь при краткосрочном прогнозировании. Прогнозы на большой срок могут дать значительную ошибку. В частности, в при- веденном примере уже после 5 июля курс резко пошел вверх. Для среднесрочных

и долгосрочных прогнозов необходимо рассматривать поведение объясняемой переменной за гораздо более длительный промежуток времени, учитывать не только тренд, но и другие составляющие временного ряда, строить более сложные модели, учитывать большее количество факторов.

117

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Задача 5.3

о курсе доллара США в сентябре-

По данным

октябре 2000 года (рис.5.9):

1) построить линейную регрессионную модель

временного ряда;

2) сделать предположение о наличии или отсут-

ствии в модели автокорреляции остатков, анализируя

графики объясняемой переменной и остатков вре-

менного ряда.

3) с помощью критерия Дарбина-Уотсона иссле-

довать временной ряд на автокорреляцию и в случае

обнаружения определить её тип.

Решение.

данные,

приведенные

в

таблице

Исходные

(рис.5.9), необходимо разместить на листе

Microsoft

Excel в один столбец,

пронумеровав дни

( t ) сквозной

нумерацией (1…61),

т.к. для регрессии не имеет значе-

ние дата и название месяца, а лишь номер момента

времени.

1) Построим временной ряд (рис.5.10).

ряда

Построим

линейную

модель

временного

y = a + b t + ε и проанализируем её параметры,

поль-

зуясь инструментом «Регрессия» (выведите его на от-

дельный лист):

= 6 ,263 > t0 ,95 ;59

= 1,98 ,

ˆy = 27,762 + 0,0023 t ,

t1

r =0 ,632

, R

2

ˆ 2

=0 ,389 ,

=0 ,399 , R

F = 39 ,23 > F0 ,05 ;1;59 = 4 ,00 .

Рис. 5.9

Полученное уравнение линейного тренда в це-

лом значимо, как и коэффициент регрессии.

Но его качество довольно низ-

кое, что и понятно,

если взглянуть на рис.5.10.

Возьмем из результатов Пакета анализа остатки построенной моде-

ли (C25:C85 листа вывода итогов).

Построим график зависимости остатков

от t (рис.5.11). Для удобства сопоставления

рис.5.10 и 5.11 желательно вы-

полнить в одном масштабе по оси t

и разместить один под другим.

2) Как известно,

автокорреляция остатков временного ряда – это

корреляционная зависимость между значениями объясняемой переменной в

момент времени

t

и её значениями в более ранние, например, в ( t − 1 )-е

моменты времени.

Просто по общему виду графика затруднительно сказать

что-то определенное о наличии автокорреляции, а тем более о её характере.

118

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

3)

Воспользуемся

наиболее

распространенным тестом на авто-

корреляцию

-

тестом Дарбина-

Уотсона. Рассчитаем d -статистику

∑n (et − et −1 )2

d =

t =2

.

∑n

et 2

t =1

В нашей задаче с помощью ин-

струмента «Регрессия»

пакета анали-

за на отдельном листе уже найдены

Рис. 5.10

остатки

.

-

Для теста Дарбина Уотсона

необходимо найти квадраты их раз-

ностей.

Сделаем это на листе вывода

итогов

в

4-м столбце таблицы «Вы-

вод остатка» (в ячейках

D25:D85).

Для этого в ячейку

D26 введем фор-

мулу

«=(C26-C25)^2» и протянем её

по диапазону D26:D85.

Для формулы

d-статистики найдем числитель дро-

би, просуммировав под таблицей в

ячейке

D86

столбец D26:D85 с по-

мощью

функции

СУММ:

∑n (et

− et −1 )2

= 0 ,071149 .

Рис. 5.11

t =2

Для нахождения знаменателя дроби в формуле d-статистики сначала в

столбце

E25:E85

получим квадраты остатков. Для этого в ячейке

E25 введем

формулу

«=C25*C25»

и протянем по ячейкам E25:E85. С помощью функ-

ции СУММ под столбцом в ячейке E86 получим ∑et 2 = 0 ,14982.

Осталось только вычислить d-статистику, разделив ячейку D86 на

E86: «=D86/E86»: d =0 ,4749 .

По таблице 5

приложения получим dн =1,55 и dв =1,62 . Согласно

рис.5.3

отрезок

0;4

разделяется

на участки

0 ,0;1,55 ,

1,55 ;1,62 ,

1,62;2,38 ,

2 ,38;2 ,45

,

2 ,45 ;4 ,0 .

Полученное значение d =0 ,4749 попа-

ло в диапазон 0 ,0;1,55 .

Следовательно, в данной задаче имеет место по-

ложительная автокорреляция.

Как её можно устранить или хотя бы уменьшить? Как получить более

адекватную модель? Универсального ответа нет.

Разработаны некоторые

рекомендации и алгоритмы, но перед исследователем обычно стоит доста- точно трудная и во многом творческая задача.

119

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Задача 5.4

По данным о курсе доллара США в сентябре 2000 г. (см. задачу 5.3): 1) выявить неслучайную составляющую временного ряда путем его

сглаживания методом скользящих средних по 3-м и 5-ти точкам; 2) осуществить повторное сглаживание уже сглаженных рядов; 3) выбрать наиболее подходящий вариант сглаживания.

Решение.

	1) Анализ временных рядов зачастую трудно проводить из-за сильных
скачков значений объясняемой переменной. Это можно преодолеть, выявив
неслучайную составляющую и устранив случайную, т.е.						сгладив исходный
ряд. Одним из распространенных методов сглаживания является метод
скользящих средних (не путать с моделью скользящих средних!).
	а) Сглаживание по 3-м точкам осуществляется по формулам (5.5).								есть
	Т.е. в новом ряде каждый член (кроме первого и последнего) –
среднее арифметическое предшествующего, текущего и последующего чле-
				нов старого ряда			(рис. 5.12).
				Расчеты		с	приведенными
				исходными данными выполним
				на отдельном		листе документа
				Microsoft Excel, скопировав туда
				таблицу с данными о курсе дол-
				лара в сентябре 2000				года.
				Построим график динами-
				ки курса доллара в исследуемый
				период,	т.е.	временного			ряда
				(далее на	рис. 5.14).			Как видно,
				колебания курса значительны.
	Рис. 5.12. Схема сглаживания
	временного ряда методом			Результаты				вычислений
	скользящих средних по 3-м точкам.			показаны ниже на рис. 5.15.
				Введем		дополнительный
столбец C (назовём его «Y(3)»), в ячейках которого будем вычислять значе-
ния сглаженного ряда.						и протянем её по
	В ячейку C3 введем формулу «=СРЗНАЧ(B2:B4)»
диапазону C3:C30, т.е. со 2		по 29	сентября, не включая 1 и 30					сентября. В
результате автоматической переиндексации во всех ячейках этого диапазона
получим искомые значения нового сглаженного ряда.
	Как же быть с 1-м и последним значениями (в ячейках C2 и C31 соот-
ветственно)? Ведь для них нет предшествующего или последующего значе-
ний старого ряда для осреднения.			Недопустимо осреднять по четному коли-
честву точек (2-м, 4-м, …),		т.к. полученные оценки значений сглаженного
ряда должны быть несмещенными [13].

120

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Поэтому просто перене-

сем значения из соответству-

ющих ячеек исходного ряда.

Лучше это сделать не копиро-

ванием и не ручным вводом

чисел,

а

соответствующими

ссылками

«=B2»

и

«=B31».

Конечно,

такой

подход

не-

сколько нарушает сглаживание

на

концах

анализируемого

диапазона,

но в целом практи-

чески приемлем.

Чтобы

визуально

оце-

Рис. 5.13. Схема сглаживания

нить новый ряд и сопоставить

временного ряда методом

его со старым, нанесем их на

скользящих средних по 5-ти точкам.

общий график

(ниже на рис. 5.14). Как видно, новый ряд идет более гладко,

в целом повторяя общий характер исходного ряда.

б) Аналогичное сглаживание можно производить и по 5 точкам по

формуле (5.6).

При таком сглаживании в осреднении участвуют не

3

точки

вблизи текущей, а уже 5: “ предпредшествующая”, предшествующая, теку-

щая,

после-дующая и “

послепоследующая” ( схема на рис. 5.13).

введем

Для этого в дополнительном столбце D («Y (5)») в ячейке D4

формулу «=СРЗНАЧ(B2:B6)» и протянем по диапазону D4:D29.

Как же быть с теперь уже двумя ячейками соответственно в начале и в

конце нового сглаженного

ряда, для которых не хва-

тает точек для сглажива-

ния? Во-первых, их можно

перенести из соответству-

ющих двух первых и двух

последних ячеек исходно-

го ряда. А во-вторых (и это

предпочтительнее),

пере-

нести можно только пер-

вое и последнее значения,

а второе и предпоследнее

осреднить

по

3-м

точкам

(значения в них известны).

Поэтому

введём в

ячейку

D3

формулу

Рис. 5.14

«=СРЗНАЧ(B2:B4)»,

а в

ячейку

D30

-

121

					Полянский Ю.Н.
			Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.
	«=СРЗНАЧ(B29:B31)». В ячейках D2 и
	D31 будут соответствующие ссылки «=B2»
	и «=B31». Результат нанесем на общий
	график с предыдущими временными ряда-
	ми (рис.5.14).	Как видно,	линия идет ещё
	более гладко.	Однако видно, что кое-где
	она значительно завышает реальные дан-
	ные, например, около 4-5 и 17-18 сентября.
	2) Коль можно сглаживать исходный
	временной ряд, то также сглаживанию мо-
	жет подвергаться и уже сглаженный ряд
	(как по 3-м, так и по 5, 7,…		точкам).
	Как это выглядит реально, покажем
	на примере.	В столбце	E (назовем его
	условно «Y(3+3)») будем вычислять значе-
	ния нового ряда, сглаживая по 3-м точкам
	значения уже ранее сглаженного тоже по
	3-м точкам ряда - столбца C («Y(3)»). Ре-
	зультат - на рис.5.15.
	3) Как видно, все виды сглаживания
	дали неплохой результат.		С такими	кри-
	выми, в которых устранена (или по край-
	ней мере, существенно уменьшена)			слу-
	чайная составляющая, удобнее работать,
	проводить дальнейшие исследования.
				сгла-	Рис. 5.15
	Аналогично можно		провести

живание по 7, 9 и т.д. точкам. Однако где-то надо и остановиться, иначе в результате можно просто получить среднее арифметическое за весь анали- зируемый период – идеально гладкую горизонтальную прямую. Сглаженная кривая должна в целом проходить как можно ближе к точкам исходного ря- да, лишь погасив случайные всплески.

Нельзя заранее однозначно дать ответ, какой вид сглаживания наибо- лее подойдет к какому-либо ряду. Надо поэкспериментировать, попробовать и сделать выбор, чтобы вместе со случайной составляющей не устранить

поддающиеся моделированию периодические составляющие временного ряда. Ведь выравнивание не аналитическое, а чисто механическое, не учи- тывающее всех составляющих временного ряда.

Итак, для наблюдений задачи лучше подойдет двойное выравнивание оба раза по 3-м точкам. Для других данных могут неплохо показать себя и другие способы. Сглаживания по 3-м точкам достаточно во многих случаях.

122

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Задача 5.5

По статистическим данным о курсе доллара США в марте 2000 года (см. рис.5.5 задачи 5.1):

1) получить значения выборочного коэффициента автокорреля-

ции r(τ ) для лагов τ =1;2;3;4;5 ;6 ;7 ;8 .

2) по полученным значениям построить график выборочной ав- токорреляционной функции – коррелограмму.

3) по общему виду коррелограммы сделать вывод о силе корре- ляционной связи между членами ряда в анализируемый период.

Решение.

1) Рассмотрим произвольный стационарный временной ряд. Степень тесноты связи между его последовательными наблюдениями y1 , y2 ,..., yn (1- й отрезок ряда) и y1+τ , y2+τ ,..., yn+τ (2-й отрезок ряда), т.е. сдвинутых отно-

сительно друг друга на лаг τ определяется коэффициентом корреляции

ρ(τ ) =

M yt − a yt +τ − a

,

σ 2

где a = M ( yt ) = M ( yt +τ ) и σ =σ y ( t ) =σ y ( t +τ )

- математическое ожи-

дание и среднее квадратичное отклонение объясняемой переменной

для

1-го и 2-го участков стационарного временного ряда.

Статистической оценкой коэффициента корреляции является выбо-

рочный коэффициент корреляции

1

n∑−τ [( yt −

)( yt +τ −

)]

y

y

r(τ ) =

n − τ t =1

.

n

(yt

−

ˆ 2

1

∑t =1

n

a)

Отметим, что эта формула может быть записана и несколько иначе.

Т.к. автокорреляционная функция четна (т.е.

ρ( −τ ) = ρ(τ )), то при

её изучении можно ограничиться только положительными величинами лага.

Рассмотрим временной ряд нашей задачи. Скопируем исходные дан-

ные задачи 5.1 на отдельный лист документа Microsoft Excel.

В соответствии с формулой заготовим расчетную таблицу (рис.5.16).

В ячейке

B34 получим оценку математического ожидания объясняемой пе-

ременной

y = M ( yt ) для всего анализируемого ряда, т.е. средний курс дол-

ˆ

лара (по формуле «=СРЗНАЧ(B3:B33)»). В столбце C вычислим квадраты отклонений от среднего (см. знаменатель формулы), для чего в ячейку C3 введем формулу «=(B3-$B$34)^2» и протянем по диапазону C3:C33.

123

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Столбцы						Рис. 5.16	для	расчетов величин
				D,E,…,K	предназначены
( yt − y )( yt +τ		−		) для соответствующих лагов.
			y
Начнем		с		временного	лага τ =1 (столбца D).			В
ячейке D3	введем расчетную формулу «=(B3-$B$34)*(B4-
$B$34)» и протянем по D3:D32.						Обратите внимание, что
столбец D	на	1 ячейку короче, чем столбец C, т.к. для зна-
чения y31 ,	соответствующей				31	марта (ячейки	D33),	не
известно значение y31+1 = y32					за	1 апреля, сдвинутое на
лаг τ =1 вперед. В соответствии с видом числителя рас-
четной формулы выборочного коэффициента корреляции
найдем среднее значение полученных в столбце D вели-
									Рис. 5.17
чин (в ячейке		D33): «=СРЗНАЧ(D3:D32)».
Напомним,				что полученные средние значения желательно выделять

124