- •Предисловие
- •Глава1. Логика классическая
- •1.1. Логика высказываний
- •1.1.1. Алгебра высказываний
- •1.1.1.2. Правила записи сложных формул
- •1.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •1.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •1.1.1.5. Нормальные формы формул
- •1.1.2. Исчисление высказываний
- •1.1.2.1. Интерпретация формул
- •1.1.2.2. Аксиомы исчисления высказываний
- •1.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •1.1.2.4. Метод резолюции
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •1. 2. Логика предикатов
- •1.2.1. Алгебра предикатов
- •1.2.1.1. Логические операции
- •1.2.1.2. Правила записи сложных формул
- •1.2.1.3. Законы алгебры предикатов
- •1.2.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •1.2.1.2. Предварённая нормальная форма
- •1.2.1.3. Сколемовская стандартная форма
- •1.2.2. Исчисление предикатов
- •1.2.2.1. Интерпретация формул
- •1.2.2.2. Аксиомы исчисления предикатов
- •1.2.2.3. Правила унификации предикатов
- •1.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •1.2.2.5. Метод резолюции
- •1.2.3. Логическое программирование
- •1.2.3.1. Основы логического программирования*
- •1.2.3.2. Подготовка среды Visual Prolog для работы
- •1.2.3.3. Описание логических задач на языке Prolog
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •Формула
- •1.3. Логика реляционная
- •1.3.1. Реляционная алгебра*
- •1.3.1.1. Унарные операции
- •1.3.1.2. Бинарные операции
- •1.3.2. Реляционное исчисление*
- •1.3.3. Языки реляционной логики
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •Глава 2. Неклассическая логика
- •2.1. Нечёткая логика
- •2.1.1. Нечёткие множества
- •2.1.2. Нечёткая алгебра
- •2.1.2.1. Операции над нечёткими множествами
- •2.1.2.2. Законы нечёткой алгебры
- •2.1.2.3. Свойства нечётких отношений
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •2.2. Модальная логика
- •2.2.1. Темпоральная (или временнáя) логика*.
- •Ответы и решения
- •Литература
- •Предметный указатель
10 |
Математическая логика |
1.1. Логика высказываний
Всякое повествовательное предложение естественного языка называют высказыванием. Высказыванию, которое описывает верное или неверное суждение о факте, явлении или событии в определенных условиях времени и места, присваивают значение «истина» или «ложь». Например, «З - простое число» = истина, а «3.14… - рациональное число» = ложь, «Колумб открыл Америку» = истина, а «Киев - столица Узбекистана» = ложь, «Число 6 делится на 2 и 3» = истина, а «сумма чисел 2 и 3 равна 6» = ложь и т.п. Такие высказывания называют простыми или
элементарными.
При исследовании сложных текстов понятие «простые высказывания» замещают понятием «пропозициональные* переменные», которые обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, … Истинность или ложность пропозициональной переменной будем отмечать символами «и» – истина или «л» – ложь.
Пример 1.1.
•если A1::= «3 - простое число», то A1 = и,
•если A2::= «3 - вещественное число», то A2 = и,
•если A3::= «3 - целое число», то A3 = и,
•если B1::= «3, 14…- рациональное число», то B1 = л,
•если B2::= «3, 14…- не рациональное число», то B2 =
и,
•если C::= «Колумб открыл Америку», то C = и,
•если D::= «Киев - столица Узбекистана», то D = л,
•если E1::= «Число 6 делится на 1, 2 и 3», то E1 = и,
* лат. propositio – предложение и др.,
1.1. Логика высказываний |
11 |
•если Е2::= «Число 6 есть сумма чисел 1, 2, 3», то Е2 =
и.
Примечание: символ «::=» означает, что пропозициональная переменная слева есть формальное описание высказывания, стоящего справа, а её значение принадлежит множеству {и, л}.
Высказывания, которые на естественном языке создают из элементарных высказываний с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «… тогда и только тогда, когда…» и т.п. называют сложными. Для формального обозначения этих связок вводят символы, которые называют логическими связками. Например, « »::= «или», «&»::= «и», « »::= «не», «→»::= «если…,
то…», «↔»::= «…тогда и только тогда, когда …». На естественном языке символы математической логики называ-
ют так: « » - дизъюнкция*, «&» - конъюнкция**, «¬» -
отрицание, «→» - импликация***, «↔» - эквивалент-
ность****.
Для построения более сложных высказываний используют вспомогательные символы «(», «)» - скобки.
Пример 1.2. Пусть обозначения элементарных высказываний А1, А2, А3, В1, В2, Е1, Е2 взяты из предыдущего примера.
•если высказывание «3 – вещественное и целое чис-
ло», то (A1&A2) = и,
•если высказывание «3,14… - рациональное число»,
*лат. disjnctivus – разделительный,
**лат. conjunctivus – соединительный,
***лат. implicatio – сплетение, переплетение,
****лат aequus – равный + valentis, – имеющий значение, цену