§7. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера

I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом рассмотрим на примере системы трех линейных уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными.

(1)

Обозначим: – матрица системы,

–матрица-столбец свободных членов

–матрица-столбец неизвестных, -

Найдем .

Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:

(2) – матричная запись системы линейных уравнений.

Найдем решение этого матричного уравнения. Пусть А – невырожденная матрица, т.е. , значит. Умножим обе части (2) на

.

Поскольку , то.

EX= X, значит

(3)

– решение (2) и системы (1).

Пример 7.1 Решить систему уравнений матричным методом.

Решение:

–матричная запись системы.

–решение системы.

Пример 7.2

Ответ:

II. Правило Крамера

- определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

, ,- определители, полученные изпутем замены соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

1. Если определитель системы, то система имеетединственное решение: ,,– формулы Крамера;

2. ,или, или, то системане имеет решений;

3. ,, то система или не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Пример 7.3

Решить систему формулам Крамера.

Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. , то система имеетединственное решение: ,;

2. ,или, то системане имеет решений;

3. ,, то система имеет бесконечное множество решений.

§8. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Матрицу системы и расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований можно свести или к треугольному виду или к ступенчатому виду.

(1) (2)

Матрице (1) соответствует система:

Если а₁₁, с₂₂, …с_nn0, то начиная с последнего уравнения найти единственное

решение x_n, x_n-1,…,x₁.

Если условие а₁₁, …, с_nn0 не выполняется, то переставить столбцы.

Матрице (2) соответствует система:

Если a₁₁, c₂₂,…,c_rr0, то r(A)= r() =r<nбесконечное множество решений.

r базисных неизвестных: x₁, x₂,…,x_r, где

(n-r) свободных неизвестных: x_r+1, …, x_n

Выразить x₁,…,x_r через x_r+1,…,x_n.

Замечание. Если в матрице (1) или (2) есть такая i–я строка, у которой все

c_ij=0, а d_i0 (противоречивое уравнение), то система несовместна, так как r(A)r().

Данный метод называется методом Гаусса.

Метод Гаусса позволяет решить систему и исследовать ее на совместность.

Пример 8.1

Решить систему методом Гаусса.

Ответ: ,,

§9. Однородные системы уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений.

В матричном виде: , гдеА=;Х=.

–расширенная матрица

А~(вычеркнув нулевой столбец)однородная система всегда совместна.

Возможны два случая:

1. r = n ( когда единственное решениеx₁=…=x_n=0

2. r<n (когда бесконечное множество решенийx₁,…,x_r – базисные неизвестные; x_r+1,…,x_n – свободные неизвестные.

Пример 9.1 Исследовать и решить систему

Ответ: ,,

Пример 9.2 Исследовать и решить систему

Ответ: бесконечное множество решений вида ,,где

18