35 Выпуклость функции, точки перегиба

График функции , дифференцируемой на интервале, является на этом интервалевыпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале, является на этом интервалевогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервалеи имеет непрерывную, не равную нулю в точкевторую производную. Тогда, есливсюду на интервале, то функция имеетвогнутость на этом интервале, если , то функция имеетвыпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке, тоили не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2. вторая производная или не существует в точке;

3.  при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функцияимеет перегиб.

36 Применение второй производной для нахождения интервалов выпуклости

Кривая называетсявыпуклой вниз (вверх) в промежутке , если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке этого промежутка.

Выпуклость кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком её второй производной:если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Если в точке перегиба x₀ существует вторая производная f ''( x₀ ), то  .

Теорема. Пусть дифференцируема на промежутке. Если во всех точках промежуткавторая производная функцииy=f(x) отрицательная, т.е. , то график функции на этом промежутке выпуклый, если же  – вогнутый.

37 Общая схема исследования функций

и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.

1.  Нахождение области определения функции.

2.  Исследование функции на четность и нечетность.

3.  Установление области непрерывности  функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.

4.  Исследование поведения функции при (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.

5.  Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.

6.  Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

7.  Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства  функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

8.  Построение графика функции.

38 Первообраз и их множеств.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.

Множество всех первообразных

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функцияf(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 

 свойства неопределенного интеграла 

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.