- •2 Колебания механических систем в поле сил тяготения
- •2.1 Свободные и вынужденные колебания
- •2.1.1 Свободные гармонические колебания материальной точки
- •Параллельное соединение пружин
- •Последовательное соединение пружин
- •2.1.3. Пример затухающих колебаний
- •2.1.4 Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления
- •2.1.5 Вынужденные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости
- •2.2.1 Несвободное твердое тело. Связи. Реакции связей
2 Колебания механических систем в поле сил тяготения
Колебания механических систем в поле сил тяготения или плоскоколебательное движение механических систем рассмотрим на примере взаимодействия железнодорожного подвижного состава (ПС) и пути.
Колебания ПС возникают в силу следующих причин:
Колесные пары при своем движении по рельсам и стрелочным переводам совершают сложные пространственные перемещения, что вызывает колебания рам тележек, кузова и других элементов конструкции ПС.
Геометрическая форма рельса, его остаточный изгиб, неровности на поверхности катания, зазоры между рельсами и шпалами, шпалами и балластом, неровности в рельсовых стыках, крестовина на стрелочном переводе, пробоксовина на рельсе, вспучивание пути и т.п. вызывают соударения колес с рельсами. В результате этих соударений возникают некоторые ударные импульсы, что приводит к возникновению в стыке дополнительных динамических сил, приложенных к пути и ПС. Для ПС эта сила является источником колебаний, а для пути – причиной просадок шпал в балласте.
Просадки, указанные в п. 2, приводят к изменению продольного профиля пути: он становится гребнеобразным, что вынуждает колесо неравномерно перемещаться в пространстве. В результате колесо нагружается силами инерции, которые через буксовую подвеску передаются на раму тележки и другие элементы конструкции.
Поскольку траектория движения колес одной колесной пары по просевшим стыкам из-за различных остаточных просадок различна, наряду с вертикальными перемещениями колесная пара совершает угловые перемещения.
Колебания ПС могут возникать из-за неравномерного износа поверхности катания колеса или эксцентричного положения его на оси.
Колебания ПС могут возникать в результате его виляния при движении по рельсовой колее.
Колебания ПС вызываются также действием сил, возникающих при входе ПС в кривые участки пути и стрелочные кривые, от порывов ветра, аэродинамических толчков воздуха в боковую поверхность ПС при встрече поездов.
Перейдем к последовательному изучению колебаний линейных механических систем. Линейныминазываются системы, колебания которых описываются линейными дифференциальными уравнениями. В таких системах возможны два вида колебаний:свободные и вынужденные.
2.1 Свободные и вынужденные колебания
2.1.1 Свободные гармонические колебания материальной точки
Рассмотрим движение точки массы m по прямой, обозначенной как ось х (рис.2.1).
Рис. 2.1 Расчетная схема и силы действующие на массу
На точку действует только восстанавливающая сила (сила упругости пружины)
,
где с – коэффициент жёсткости пружины;
х – координата точки, равная деформации пружины l = l – l0 (здесь l0 – длина пружины в недеформированном состоянии, l – длина пружины в текущем состоянии).
Согласно второму закону Ньютона, запишем дифференциальное уравнение движения точки:
. (2.1)
Обозначая круговую частоту колебаний
, (2.2)
приводим дифференциальное уравнение движения к виду
, (2.3)
т. е. движение точки под действием восстанавливающей силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: , . Поскольку корни чисто мнимые, общее решение уравнения (2.3) имеет вид
, (2.4)
где С1,С2– постоянные интегрирования, подлежащие определению из начальных условий движения.
Вместо С1,С2можно ввести другие постоянныеАиαследующим образом: ; .
Тогда решение (2.4) преобразуется к виду
,
окончательно
. (2.5)
Скорость равна первой производной координаты по времени:
. (2.5а)
Величина А называется амплитудой колебаний, – фазой колебаний, α – начальной фазой.
Амплитуда и начальная фаза выражаются через начальные условия движения (при t = 0, , ) следующим образом:
, . (2.6)
Движение материальной точки, задаваемое соотношениями 2.4), (2.5), называется свободными гармоническими колебаниями. График колебаний изображен на рис.2.2.
-
Рис. 2.2 Свободные гармонические колебания
Круговая частота k (2.2) этих колебаний называется собственной частотой механической системы, показанной на рис.2.1. Собственная частота зависит от параметров m и c, но не зависит от начальных условий движения.
Круговая частота колебаний k, измеряемая в с–1 (то есть в радианах за секунду), и частота f, измеряемая в герцах и представляющая собой число полных колебаний за 1 секунду, связаны между собой следующим образом:
k = 2f . (2.7)
Период колебаний
(2.8)
измеряется в секундах.
Видим, что частота и период колебаний не зависят от начальных условий движения.
Рассмотрим для примера свободные гармонические колебания системы представляющей собой подрессоренное тело массы m (рис.2.3). Коэффициент жесткости пружины равенс, ее длина в недеформированном
состоянии равна l0.
Рис. 2.3 Свободные гармонические колебания подрессоренной массы
Осадку пружины в положении равновесия обозначим ст. Если исходить из равновесия действующих на тело силы тяжести и силы упругости , то в проекции на направленную вертикально вверх ось z
получим: – mg + cст = 0, откуда находим ст = mg/c.
Уровень, соответствующий положению равновесия тела, обозначен на рис. 2.3 пунктирной линией. Начало отсчета 0 по оси z помещаем на этом уровне; если тело находится выше него, то z > 0, если ниже – то z < 0.
Примем при расчетах массу m = 50000 кг, жесткость пружиныс = 1107 Н/м.
Тогда круговая частота колебаний подрессоренной массы (2.2) будет равна k = 14,142 c–1, что составляетf= 2,25 Гц. Период колебанийТ= 2/k= 0,444 с.
Зададим следующие начальные условия движения: при t = 0, z0 = 0, Vo = 0,1 м/с, тогда согласно (2.6) находим:
м,
, т.е. α = 0.
Уравнение колебаний (2.5) приобретает вид
м,
график колебаний показан на рис. 2.4.
Рис. 2.4 График колебаний подрессоренной массы