Методы составления систем дифференциальных уравнений движения механической системы
.doc
-
Методы составления систем дифференциальных уравнений
движения механической системы
Как было показано ранее, всякую реальную машину можно представить в виде абстрактной эквивалентной расчетной схемы. Массы на расчетный схеме имеют вид маховиков или поступательно движущихся масс, причем на каждую массу в схеме наложены связи, не зависящие от времени и запрещающие движения по всем координатам, кроме одной. Для масс расчетной схемы в виде валов с маховиком возможно движение только по координате φ, для поступательно движущихся масс – только по координате Х.
Следовательно, система масс расчетной схемы имеет число степеней свободы, равное числу масс, и движение ее описываются таким же количеством уравнений.
Рассмотрим методы составления уравнений движения.
-
Метод Даламбера
Даламбером был сформирован принцип, который позволяет составить уравнения движения тел для многих задач динамики методом, аналогичным методу решения задач статики.
Этот принцип гласит: при движении системы в каждый данный момент времени силы инерции масс системы, активные внешние силы и силы реакций связей удовлетворяют условиям статического равновесия.
Так для системы твердых тел, изображенной на рис 1.14, этот принцип можно записать в виде системы уравнений статики
,
где − сила инерции;
- активная сила и - реакция связи приложенные к массе.
− момент от сил инерции, активных сил и реакций связей относительно произвольной точки О.
Рис.1.14 Двухмассная расчетная схема и силы, действующие на массы
Составим по методу Даламбера уравнения движения системы. Мысленно отделим массы от упругого скелета системы, и для каждой массы запишем дифференциальное уравнение движения, причем действия упругих связей заменим их реакциями:
Для применения принципа Даламбера необходимо знать направление и величину всех сил, действующих на систему, а также направление ускорений всех масс системы. Однако во многих задачах динамики очень трудно определить направление ускорений, кроме того, обычно неизвестны реакции связей. Поэтому метод Даламбера не является универсальным и удобен лишь для ограниченного круга задач.
1.4.2. Метод Лагранжа
Известное из теоретической механики уравнение Лагранжа II рода имеет вид
, (i=1...k); (1.32)
где qi - обобщенные координаты;
T - суммарная кинетическая энергия системы;
Qi – обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам;
t – время.
Под обобщенными координатами понимают независимые друг от друга однозначные функции времени, при помощи которых полностью описывается положение системы в пространстве.
Так, например, для маятника (рис.2.15), положение массы m в пространстве может быть однозначно определено координатой φ- углом отклонения от вертикали жесткой связи массы с осью качания. Положение этой массы можно однозначно определить и двумя координатами У и Z.
Рис.2.15 Определение положения массы маятника с помощью
декартовых Z1 и у1 или обобщенной φ координат
Однако эти координаты не являются независимыми, так как в любой момент времени должны удовлетворять уравнению Z2+Y2=l2, где l – длина жесткой связи.
Координату φ в данном случае можно принять в качестве обобщенной.
Обобщенная сила для каждой обобщенной координаты практически определяется следующим образом:
, (i=1...k) , (1.33)
где Qi вн – внешняя активная сила, действующая на систему;
П – потенциальная энергия системы;
- обобщенная сила, имеющая потенциал, или консервативная сила (сила тяжести, сила упругости);
- функция рассеивания, характеризующая уменьшение энергии в единицу времени.
В общем виде ,
где - коэффициент пропорциональности;
qi – обобщенная скорость;
m – показатель степени;
- диссипативные силы (силы сопротивления движению, силы сухого или жидкостного трения и др.).
Если рассматривается система, для которой кинетическая энергия зависит только от обобщенных скоростей, но не зависит от самих обобщенных координат, в уравнениях Лагранжа член равен нулю.
Подставляя (1.33) в (1.32), получим уравнение Лагранжа в следующем виде:
. (1.34)
Составим уравнение движения нашей системы, используя уравнения Лагранжа (1.34).
В качестве обобщенных координат в данном случае лучше всего взять декартовы координаты х1 и х2.
Кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия системы
для 1-й массы
- обобщенная скорость;
- обобщенная сила, имеющая потенциал;
для 2-ой массы
Подставив полученные выражения в уравнение (1.34), получим такую же систему уравнений, как и при использовании метода Даламбера.
Усложним задачу, введя в систему силы вязкого трения, силу P1 , изменяющуюся по закону P1= A sint.
Выражения Т и n останутся прежними. Функция рассеивания где ε1 и ε2 – коэффициенты пропорциональности, характеризующие способность демпферов рассеивать энергию,
P1=A sint.
Система уравнений после подстановки запишется
(1.35)
Решив уравнения движения (1.35) относительно x1 и x2, можно найти нагрузки в упругих связях.
1.4.3 Составление уравнении для определения нагрузок в упругих
элементах по методу С. Н. Кожевникова
Если основной целью исследования считать определение нагрузок в упругих связях системы, то в качестве обобщенных координат, однозначно определяющих взаимное расположение масс системы (движение системы как единого целого в данном случае нас не интересует), можно принять моменты сил упругости, развиваемые в связях.
Рассмотрим метод Кожевникова на примере цепной неразветвленной системы из n масс, изображенной на рис. 1.16.
Выделим из системы (рис. 2.16, а) отдельные маховики, действие отброшенных масс заменим упругим моментом связи (см. рис. 2.16, б).
Например (см. рис. 2.16, а), М2,1 - упругий момент, заменяющий действие второй массы на первую. На выделенную массу У2 действуют момент М2 и заменяющие действие масс У1 и У3 на У2 моменты М12 и М32. Напишем уравнения равновесия для первых двух маховиков, используя принцип Даламбера:
а
б
Рис. 2.16 Цепная неразветвленная n – массная система:
а - эквивалентный вал; силы; б - силы, действующие на маховики.
Отсюда
. (1.36)
Умножив обе части равенства (1.36) на С12, при условии, что
С12 (1-2) = M12 , получим
.
Учтем изменение знака момента сил упругости в зависимости от того, действует он на массу слева или справа, т.е.
.
После преобразования получим
(1.37)
где - парциальная частота собственных колебаний двухмассной системы, полученной выделением масс У1 и У2 со связью С12 без учета влияния других масс.
Рассматривая таким же образом последовательно все элементы эквивалентной системы, найдем следующую систему дифференциальных уравнений относительно упругих моментов
(1.38)
Так как упругая система связана n-1 связями, то число упругих моментов, подлежащих определению, также равно n-1. Преимуществом метода Кожевникова является уменьшение числа дифференционных уравнений на единицу. При решении уравнений системы сразу находим интересующие нас моменты упругих связей.
Для трехмассной системы уравнения для определения М12 и М23 запишутся в виде
(1.39)
Если напряжения Mi на реальной схеме будут иными, чем на схеме, изображенной на рис. 1.12, то знаки Mi в системах (1.38) и (1.39) следует изменить на противоположные.
1.4.4. Применение метода Лагранжа при упрощении эквивалентной
расчетной схемы
Используя метод Лагранжа, составим систему дифференциальных уравнений движения системы (см. рис. 1.8) для случая запуска двигателя.
Подставляя в уравнения Лагранжа II рода выражение кинетической энергии (1.28), значение потенциальной энергии деформации связи
и обобщенные силы МД и МС, получаем дифференциальные уравнения движения системы:
или
(1.40)
Незнание величин суммарных приведенных масс J1 и Jn упрощённой двухмассной расчётной схемы не помешает нам решить дифференциальные уравнения движения (1.40) относительно 1 и n или их разности 1 - n и найти нагрузки в упругой связи при запуске.
Итак, возможность на основе принципа Рэлея приближенной записи кинетической энергии как квадратичной функции скоростей только основных масс системы позволяет упрощать расчётную схему и сводить число степеней свободы до одной или двух.