![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4 Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) сау
- •4.1 Составление уравнений нелинейных систем
- •4.1.1 Уравнение систем с нелинейностью релейного типа
- •4.1.2 Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора
- •4.1.3 Уравнения систем с нелинейностями других видов
- •4.2 Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний
- •4.2.1 Фазовые траектории и метод точечных преобразований
- •4.2.2 Теоремы прямого метода Ляпунова и их применение
- •4.2.3 Определение автоколебаний релейных систем
- •4.3 Частотный метод в.М. Попова
- •4.4 Исследование систем с переменной структурой
4.1.3 Уравнения систем с нелинейностями других видов
Рассмотрим несколько примеров автоматических систем с нелинейностями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3.
Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат (рис. 16.22, а) и во-вторых, зону «насыщения» по краям. Кроме того, может иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г). Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно-линейными функциями (рис. 16.22, б, д или в, е, и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис.16.22, з, ж), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее.
Зона
нечувствительности
выражается в том, что электрический
двигатель имеет определенный минимальный
ток трогания (
),
до достижения которого вал двигателя
будет неподвижен (
).
В гидравлическом же двигателе золотник
имеет так называемую зону перекрытия
(его поршенек немного шире отверстия,
им закрываемого), вследствие чего он
откроет путь рабочей жидкости в цилиндр
двигателя, только переместившись не
некоторую величину
.
Аналогично и в случае пневматического
привода.
Зона
насыщения обнаруживается в том, что при
увеличении тока сверх некоторого
значения
скорость
перемещения регулирующего органа
остается постоянной (
);
также и для гидравлического двигателя
при
,
когда окна золотника полностью открыты.
Термины «насыщение» и «гистерезис» применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа: они необязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.
Уравнение привода регулирующего органа с учетом указанных обстоятельств вместо прежнего линейного будет иметь нелинейный вид:
,
(4.60)
где есть нелинейная функция, задаваемая
графиком (рис.
16.22, а
или г).
для электрических приводов можно
записать
. (4.61)
В приближенном кусочно-линейном виде (рис. 16.22, б), уравнение (4.60) записывается следующим образом
(4.62)
В
случае наличия гистерезиса (рис.
16.22, д)
придется написать два ряда таких же
выражений с разными значениями
и
:
один – для движения вправо (
)
и другой – для движения влево (
).
Этим определяется уравнение привода
регулирующего органа как нелинейного
звена. Уравнение линейной части
составляется обычным способом в
зависимости от того, в какой конкретно
автоматической системе этот привод
применен.
Следящая система с линейным и квадратичным трением. В § 16.3 была рассмотрена следящая система с линейным и сухим трением. Пусть теперь управляемый объект в той же следящей системе обладает кроме линейного еще квадратичным трением, т. е. уравнение объекта имеет вид
,
где
,
(рис. 16.23). Тогда уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена будет
. (4.63)
Уравнение линейной части системы в полном виде по-прежнему будет (4.53).
Система автоматического регулирования с переменным коэффициентом усиления. В ряде случаев для повышения качества процесса регулирования бывает желательно, чтобы воздействие на регулируемый орган было не пропорциональным отклонению регулируемой величины, а усиливалось или ослаблялось при увеличении этого отклонения (нелинейный закон регулирования). Примерами такого воздействия с переменным коэффициентом усиления могут служить характеристики с ограниченной линейностью или с насыщением (рис. 16.22, а) Однако они дают уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. Рассмотрим теперь два примера характеристик с переменным коэффициентом усиления, который увеличивается при увеличении отклонения.
Уравнение нелинейной части привода регулирующего органа будет в случае характеристики рис. 16.24, а
(4.64)
а в случае характеристики 16.24, б
. (4.65)
Все рассмотренные примеры иллюстрируют случай, когда общая схема системы имеет вид рис. 16.1, т. е. случай нелинейной системы первого класса (кроме случая сухого трения в следящей системе при наличии остановок). Комбинации нелинейностей приводят к нелинейным системам второго и третьего классов (см. главу 18).
Система автоматического регулирования с логическим устройством. Пусть динамика регулируемого объекта (рис. 16.25) описывается уравнением
. (4.66)
Уравнения измерителей
,
. (4.67)
Уравнение усилителя-преобразователя с логическим устройством
. (4.68)
Уравнение исполнительного устройства
. (4.69)
Кроме
того, должна быть задана логика
формирования нелинейного закона
регулирования
,
которая может быть назначена или
синтезирована в очень разнообразных
формах для обеспечения простоты и
надежности аппаратуры, наибольшего
быстродействия, наименьшей затраты
энергии на управление, учета ограничения
мощности источника энергии и специфики
желательных режимов его работы и т. п.
Выбранную
тем или иным образом логику формирования
нелинейного закона управления можно
записывать в аналитической форме. Однако
во многих случаях удобно изображать ее
графически на плоскости входных величин
логического устройства
.
Для
примера рассмотрим простейшую логику
(рис.
16.26). Смысл
ее заключается в следующем. Величины
и
,
согласно уравнениям (4.67) с точностью до
постоянных времени соответствуют
отклонению регулируемой величиных
и ее первой производной по времени рх.
Поэтому наличие порогового значения
соответствует тому, что при малыхх
исполнительное устройство не работает
(
).
Не работает оно также и при больших
отклоненияхх,
но только тогда, когда имеется достаточная
по величине скорость рх
(соответствующая превышению порога
)
со знаком, противоположным знакух,
ибо в этом случае отклонение х
уменьшается по величине само собой даже
при не работающем исполнительном
устройстве системы управления.
Исполнительное устройство включается
(
или
,рис.
16.26) только
тогда, когда при достаточно больших
отклонениях х
(
)
скоростьрх
имеет тот же знак (т. е. отклонение
возрастает по величине) либо, когда
скорость рх
имеет противоположный знак, но мала
(
).
Система с переменной структурой. Как уже указывалось в начале книги (§ 2.3), системы с переменной структурой содержат в себе специальное переключающее устройство для изменения структуры регулятора, которое срабатывает в зависимости от размеров и знаков входных величин.
Примеры переключающихся устройств приведены схематически на рис. 16.27, где КЭ – ключевой элемент, БИС – блок изменения структуры. Уравнение принято [42] записывать в виде
. (4.70)
Функция
может строиться по-разному. Например,
(рис.
16.27, а),
(4.71)
Для случаев, указанных на рис. 2.9 и 2.10, будем иметь (рис. 16.27, б)
(4.72)
Под символами и могут также иметься в виду различные выражения:
в простейшем случае постоянные
,
, (4.73)
в другом случае
,
(4.74)
и любые другие, в том числе и нелинейные.
Основная же характерная нелинейность здесь состоит в самом факте автоматического переключения в зависимости от состояния входных величин.