- •3 Уравнения динамики и динамические характеристики сау
- •3.1 Общий метод составления исходных уравнений
- •3.2 Передаточные функции систем автоматического регулирования
- •3.3 Законы регулирования
- •3.4 Структурные схемы и графы
- •3.5 Многомерные системы регулирования
- •3.6 Управляемость и наблюдаемость
- •3.7 Уравнения следящей системы
- •3.8 Линеаризация уравнений
- •3.9 О записи линеаризованных уравнений звеньев
3.2 Передаточные функции систем автоматического регулирования
Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (3.2) и (3.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 3.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу.
Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемого объекта (РО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.
Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением
(3.8)
где х – рассогласование на выходе чувствительного элемента, – передаточная функция цепи регулирования.
Регулируемая величина может быть найдена из выражения
(3.8)
где Wo (p) – передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, – передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию .
Рис. 3.1
Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие . При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет просуммировать члены вида гдеи – возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению.
Подставляя (3.7) в (3.8), получаем
(3.9)
Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы
(3.10)
где R (р) и Q (р) представляют собой некоторые полиномы от р.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:
(3.11)
где – комплексная величина.
Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (3.7) – (3.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину у (t) с ошибкой х (t) в разомкнутой системе:
(3.12)
где – алгебраизированный оператор дифференцирования.
Учитывая (5.10), формулу (3.12) можно также записать в виде
(3.13)
Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.
Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания:
(3.14)
Решая (3.9) и (3.14) совместно, получаем для регулируемой величины
(3.15)
и для ошибки
(3.16)
Выражение
(3.17)
называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий:
(3.18)
Выражение
(3.19)
называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий:
(3.20)
Как и ранее, формулы (3.15), (3.16), (3.18) и (3.20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины Y (р) и управляющего воздействия G (р) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:
35.21)
а передаточную функцию по ошибке – как отношение изображений ошибки X (р) и управляющего воздействия G (р):
(3.22)
также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений.
Из формул (3.15) и (3.16) видно, что введение автоматического регулирования «уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (3.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р. В результате сравнения формул (3.2) и (3.16), а также (3.5) и (3.15) видно, что полиномы R (р) и Q (р) в выражении (3.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе.
Полином
(3.23)
называется характеристическим.
Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы:
(3.24)
Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (3.15) или (3.16):
(3.25)
Так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю.
Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.
Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее (см. ниже, § 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями:
по передаточной функции замкнутой системы (3.17)
(3.26)
по передаточной точной функции для ошибки (3.19)
(3.27)
по дифференциальному уравнению для ошибки (3.2) или по дифференциальному уравнению для регулируемой величины (3.5)
(3.28)