- •Вопрос 1. Определение первообразной и её свойства
- •Вопрос 5.
- •Вопрос 6. Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Вопрос 7. Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Вопрос 8.
- •Вопрос 9.
- •Теорема существования единственного решения - ??
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 13.
- •Вопрос 12. -?? Вопрос 14.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а,b]. Тогда
(4)
где
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Вопрос 7. Приближённое вычисление определённых интегралов
Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла
Относительно подынтегральной функции мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.
Вычислять значение интеграла мы будем по значениям функции в некоторых точках отрезка . Эти значения мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям приближённо определить значение , называются квадратурными формулами.
Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.
При вычислить интеграл значит найти площадь под графиком , расположенную над отрезком . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления и положим и (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка состоит из отрезков при . Вместо площади под графиком, равной , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения (см. рис.).
Вопрос 8.
Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].
так, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Свойства - ??
Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
Несобственный интеграл I= называется: а)абсолютно сходящимся, если сходится интеграл =, в этом случае говорят, что ф-ция f абс. интегрируема на промежутке [a;b); б)условно сходящимся, если интеграл I сходится, а расходится.
Теорема. Если несобственный интеграл сходится, то интеграл I также сходится и выполняется неравенство: .
Док-во: 1)Из сходимости следует, что для него выполняется условие Коши, то есть:. По определению несобственного интеграла I ф-ция f(x) интегрируема по Риману на отрезке с концами и поэтому ф-ция также интегрируема по Риману на этом отрезке. Далее применим правило оценки интегралов и получим: , отсюда следует что f удовлетворяет условию Коши, и по достаточному признаку сходимости сходится интеграл I. 2) - это нер-во справедливо [a;b). В силу сходимости I и сущ-ют пределы при левой и правой частей этого нер-ва, равные соответственно I и . Переходим к пределу, получаем .