2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Рекомендованная литература

1.Алгебра и начала анализ. Ч. 1: Учебник для техникумов / М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н. Яковлев и др.

/Под ред. Г.Н. Яковлева. М.: Наука, глава 4, §§ 15-27.

2.Богатов Д.Ф., Богатов Ф.Г. Конспект лекций и практикум по математике для юристов: Учебное пособие для образовательных учреждений юридического профиля. М.: Приор-издат, 2003, лекция 4,

с. 132-147.

3.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. М.: Высшая школа, 1983, глава 7, с. 85-96, глава 8; с. 97-109; глава 10, с. 168-175.

4.Рассолов М.М., Чубукова С.Г., Элькин В.Д. Элементы высшей математики для юристов: Учебное пособие. Юристъ, 1999, глава

2, §2, с. 38-55.

5.Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М. Математика: Учебный курс для юристов. М.: Юрайт, 1999, глава 6, §2, с. 121-127.

Задачи для индивидуального выполнения

Номер студента Номера задач для индивидуального выполнения по списку

12.1.1.; 2.1.31.; 2.1.61.; 2.1.91.; 2.1.121.; 2.2.1.; 2.2.31.; 2.2.61.; 2.3.1.; 2.3.31.; 2.3.61.; 2.3.91.

22.1.2.; 2.1.32.; 2.1.62.; 2.1.92.; 2.1.122.; 2.2.2.; 2.2.32.; 2.2.62.; 2.3.2.; 2.3.32.; 2.3.62.; 2.3.92.

32.1.3.; 2.1.33.; 2.1.63.; 2.1.93.; 2.1.123.; 2.2.3.; 2.2.33.; 2.2.63.; 2.3.3.; 2.3.33.; 2.3.63.; 2.3.93.

42.1.4.; 2.1.34.; 2.1.64.; 2.1.94.; 2.1.124.; 2.2.4.; 2.2.34.; 2.2.64.; 2.3.4.; 2.3.34.; 2.3.64.; 2.3.94.

52.1.5.; 2.1.35.; 2.1.65.; 2.1.95.; 2.1.125.; 2.2.5.; 2.2.35.; 2.2.65.; 2.3.5.; 2.3.35.; 2.3.65.; 2.3.95.

62.1.6.; 2.1.36.; 2.1.66.; 2.1.96.; 2.1.126.; 2.2.6.; 2.2.36.; 2.2.66.; 2.3.6.; 2.3.36.; 2.3.66.; 2.3.96.

72.1.7.; 2.1.37.; 2.1.67.; 2.1.97.; 2.1.127.; 2.2.7.; 2.2.37.; 2.2.67.; 2.3.7.; 2.3.37.; 2.3.67.; 2.3.97.

82.1.8.; 2.1.38.; 2.1.68.; 2.1.98.; 2.1.128.; 2.2.8.; 2.2.38.; 2.2.68.; 2.3.8.; 2.3.38.; 2.3.68.; 2.3.98.

61

92.1.9.; 2.1.39.; 2.1.69.; 2.1.99.; 2.1.129.; 2.2.9.; 2.2.39.; 2.2.69.; 2.3.9.; 2.3.39.; 2.3.69.; 2.3.99.

102.1.10.; 2.1.40.; 2.1.70.; 2.1.100.; 2.1.130.; 2.2.10.; 2.2.40.; 2.2.70.; 2.3.10.; 2.3.40.; 2.3.70.; 2.3.100.

112.1.11.; 2.1.41.; 2.1.71.; 2.1.101.; 2.1.131.; 2.2.11.; 2.2.41.; 2.2.71.; 2.3.11.; 2.3.41.; 2.3.71.; 2.3.101.

122.1.12.; 2.1.42.; 2.1.72.; 2.1.102.; 2.1.132.; 2.2.12.; 2.2.42.; 2.2.72.; 2.3.12.; 2.3.42.; 2.3.72.; 2.3.102.

132.1.13.; 2.1.43.; 2.1.73.; 2.1.103.; 2.1.133.; 2.2.13.; 2.2.43.; 2.2.73.; 2.3.13.; 2.3.43.; 2.3.73.; 2.3.103.

142.1.14.; 2.1.44.; 2.1.74.; 2.1.104.; 2.1.134.; 2.2.14.; 2.2.44.; 2.2.74.; 2.3.14.; 2.3.44.; 2.3.74; 2.3.104.

152.1.15.; 2.1.45.; 2.1.75.; 2.1.105.; 2.1.135.; 2.2.15.; 2.2.45.; 2.2.75.; 2.3.15.; 2.3.45.; 2.3.75.; 2.3.105.

162.1.16.; 2.1.46.; 2.1.76.; 2.1.106.; 2.1.136.; 2.2.16.; 2.2.46.; 2.2.76.; 2.3.16.; 2.3.46.; 2.3.76.; 2.3.106.

172.1.17.; 2.1.47.; 2.1.77.; 2.1.107.; 2.1.137.; 2.2.17.; 2.2.47.; 2.2.77.; 2.3.17.; 2.3.47; 2.3.77.; 2.3.107.

182.1.18.; 2.1.48.; 2.1.78.; 2.1.108.; 2.1.138.; 2.2.18.; 2.2.48.; 2.2.78.; 2.3.18.; 2.3.48.; 2.3.78.; 2.3.108.

192.1.19.; 2.1.49.; 2.1.79.; 2.1.109.; 2.1.139.; 2.2.19.; 2.2.49.; 2.2.79.; 2.3.19.; 2.3.49.; 2.3.79.; 2.3.109.

202.1.20.; 2.1.50.; 2.1.80.; 2.1.110.; 2.1.140.; 2.2.20.; 2.2.50.; 2.2.80.; 2.3.20.; 2.3.50.; 2.3.80.; 2.3.110.

212.1.21.; 2.1.51.; 2.1.81.; 2.1.111.; 2.1.141.; 2.2.21.; 2.2.51.; 2.2.81.; 2.3.21.; 2.3.51.; 2.3.81.; 2.3.111.

222.1.22.; 2.1.52.; 2.1.82.; 2.1.112.; 2.1.142.; 2.2.22.; 2.2.52.; 2.2.82.; 2.3.22.; 2.3.52.; 2.3.82.; 2.3.112.

232.1.23.; 2.1.53.; 2.1.83.; 2.1.113.; 2.1.143.; 2.2.23.; 2.2.53.; 2.2.83.; 2.3.23.; 2.3.53.; 2.3.83.; 2.3.113.

242.1.24.; 2.1.54.; 2.1.84.; 2.1.114.; 2.1.144; 2.2.24.; 2.2.54.; 2.2.84.; 2.3.24.; 2.3.54.; 2.3.84.; 2.3.114.

252.1.25.; 2.1.55.; 2.1.85.; 2.1.115.; 2.1.145.; 2.2.25.; 2.2.55.; 2.2.85.; 2.3.25.; 2.3.55.; 2.3.85.; 2.3.115.

262.1.26.; 2.1.56.; 2.1.86.; 2.1.116.; 2.1.146.; 2.2.26.; 2.2.56.; 2.2.86.; 2.3.26.; 2.3.56.; 2.3.86.; 2.3.116.

272.1.27.; 2.1.57.; 2.1.87.; 2.1.117.; 2.1.147.; 2.2.27.; 2.2.57.; 2.2.87.; 2.3.27.; 2.3.57.; 2.3.87.; 2.3.117.

282.1.28.; 2.1.58.; 2.1.88.; 2.1.118.; 2.1.148.; 2.2.28.; 2.2.58.; 2.2.88.; 2.3.28.; 2.3.58.; 2.3.88.; 2.3.118.

292.1.29.; 2.1.59.; 2.1.89.; 2.1.119.; 2.1.149.; 2.2.29.; 2.2.59.; 2.2.89.; 2.3.29.; 2.3.59.; 2.3.89.; 2.3.119.

302.1.30.; 2.1.60.; 2.1.90.; 2.1.120.; 2.1.150.; 2.2.30.; 2.2.60.; 2.2.90.; 2.3.30.; 2.3.60.; 2.3.90.; 2.3.120.

62

2.1.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Производной функции y = f (x) в точке x0 называется пре-

дел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю:

f (x0 )= lim	f (x0 +	x)− f (x0 )	.	(2.1.1.)
x→0		x
Если в точке x0 функция f (x)		имеет производную, то го-

ворят, что она дифференцируема в этой точке. Производная функции

y = f (x) в точке x обозначается одним из символов:
f ′(x)	, y′,		df (x)			dy
					,		.
			dx			dx
Таким образом,		f (x +		x)− f (x)
f (x)= lim								.	(2.1.2.)
x→0					x

Правила дифференцирования

Теорема 2.1. Производная постоянной функции равна нулю.

(C )′ = 0.		(2.1.3.)
Теорема 2.2. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной.
(kf (x))′ = kf ′(x).		(2.1.4)
Теорема 2.3. Если функции f (x) и g (x)	дифференцируе-
мы, то производная их суммы равна сумме их производной.
( f (x)+ g (x))′ = f ′(x)+ g′(x).		(2.1.5)
Теорема 2.4. Если функции f (x) и g (x)	дифференцируе-
мы, то производная их разности равна разности их производных.
( f (x)− g (x))′ = f ′(x)− g′(x).		(2.1.6)

63

Теорема 2.5. Если функции f (x) и g (x) дифференцируе-

мы, то производная их произведения равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй.

( f (x) g (x))′ = f ′(x)g (x)+	f (x)g′(x).	(2.1.7)
Теорема 2.6. Если функции f (x) и	g (x) дифференцируе-

мы, то производная их частного вычисляется по формуле:

	f (x) ′			f ′(x)g (x)− f (x)g′(x)	,
			=			(2.1.8)
				(g (x))2
	g (x)

если производная функции g (x)

не равна нулю.

Производная сложной функции

Теорема 2.7. Пусть дана сложная функция

f (g (x)), причем

функция g (x) дифференцируема в точке x0 ,

а функция

f (x)

дифференцируема в точке g (x0 ). Тогда функция

f (g (x))

диффе-

ренцируема в точке x0 и имеет равенство:

(f (g (x)))′ =

f ′(g (x)) g′(x).

(2.1.9)

Пример 2.1.1. Найти производную функции

f (x)= x2 .

Решение. По определению производной

(

x2

)

′

= lim (x +

x)2 − x2 = lim

x2 + 2 x x +( x)2 − x2

=

x→0

x

x→0

x

= lim

2 x x +(

x)2

= lim (2x + x)= 2 x.

x

x→0

x→0

64