Konspekt_SM_3

18.1 Изгиб с кручением круглых валов							159
y		P3		P2		x
						z	а
				P1
	M3	P3x	M2	P2x	P1y
							б
					M1
y		Вертикальная плоскость			P1y
					z		в
x		Горизонтальная плоскость			Mx		г
		P3x		P2x
					z		д
					My		е
		1		2	3
		1		2	Muзг		ж
					3
					Mкр		з

Рисунок 18.1

Для общего случая это легко показать аналитически. Пусть Mx=a+bz, My=c+dz (где a, b, c и d – постоянные коэффициенты).

Тогда Mизг = M x2 + M x2 = (a + bz)2 + (c + dz)2 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

160	18 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ (продолжение)
	Выражение, стоящее под радикалом, лишь в некоторых случаях является

квадратом (например, при c=d=0), а в большинстве случаев эпюра криволинейна. Величины изгибающего момента Mизг вычисляют лишь для сечений, в которых на эпюрах Mx и My имеются переломы. Эти величины откладывают по одну сторону и соединяют вогнутой параболой (см. рис.18.1, ж). Далее строим эпюру крутящих моментов Мкр (см. рис.18.1, з) и отыскиваем опасные сечения, сочетающие относительный экстремум Mизг и Мкр. Опасными могут быть сечения 1, 2 и 3. Теперь в опасном сечении могут быть найдены опасные точки. Очевидно, опасными могут быть точки А и В (рис.18.2) (точки, наиболее удаленные от нейтральной линии, положение которых легко найти, т.к. ϕ =α, а нейтральная линия n-n перпендикулярна силовой линии).

τ	B	P
	α
	ϕ=α
	A

σи

n-n

Рисунок 18.2

Строим эпюры σи от изгибающего момента, которые меняются пропорционально расстоянию точек от нейтральной линии. В точках А и В

нормальные напряжения от изгиба и касательные от кручения имеют одновременно наибольшие значения (τ от изгиба в этих точках равны нулю и вообще τu<<τкр).

σизг =	M	изг	=		M x2 + M y2
						,
	Woc				Woc

	τ кр =	M кp	.
		W β

Выделим элементарную частицу материала (рис.18.3) в окрестности наиболее опасной точки (например, в окрестности точки В ).

По четырем граням действуют касательные напряжения, а к двум из них приложены нормальные напряжения, остальные две грани совершенно свободны от напряжений. Таким образом, при изгибе с кручением элемент в

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18.1 Изгиб с кручением круглых валов

161

опасной точке находится в плоском напряженном состоянии, как и в изгибаемом брусе.

n

y

.В

B

σu

τкр σu

σu

x

τкр

τкр

z

n

τкр

а

б

в

Рисунок 18.3

Поэтому здесь главные напряжения надо определять по тем же

формулам, что и при изгибе:

1

[σ +

],

1

[σ −

].

σ1

=

σ 2

+ 4τ 2

σ3

=

σ 2

+ 4τ 2

2

2

Разница между формулами для поперечного изгиба и изгиба с кручением лишь в том, что в последнем случае касательные напряжения вызываются крутящим моментом, а при изгибе – поперечной силой. Для проверки прочности вала мы должны определить эквивалентные (приведенные)

напряжения по соответствующей теории прочности и сравнить их с допускаемыми. В связи с тем, что валы обычно изготавливаются из пластичных материалов, можно использовать третью и четвертую теории прочности:

σэквIII = σизг2 + 4τкр2 ≤ [σ ];

(18.1)

σэквIV = σизг2 + 3τкр2 ≤ [σ].

Заменим напряжения σ и τкр через изгибающий и крутящий моменты:

σизг =	M	изг	; τкр =	М кр	=	М кр	.
				Wp		2Woc
	Woc

Подставив их в теории прочности, получим по третьей теории прочности:

	σ III	=		M изг2	+ 4		М кр2			≤ [σ].
				W 2		(2W		)2
	экв
				oc			oc

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

162		18 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ (продолжение)
Откуда	σ эквIII =		M изг2 + M кр2		£ [σ ].	(18.2)
			W oc

По четвертой теории прочности (энергетической)

σэквIV

M 2

Мкр2

[σ]

=

изг

+ 3

£

(2Woc )2

Woc2

или

σэквIV =

Mизг2 +0,75Мкр2

≤ [σ].

(18.3)

Woc

Формулы (17.2) и (17.3) по своей структуре совершенно совпадают с формулами (17.1), поэтому проверка прочности круглого вала на совместное

действие кручения и изгиба может быть записана в виде

σ =

Мпр

£[σ]

Woc

,

(18.4)

где приведенные моменты, эквивалентные действию трех моментов, равны

МпрIII =

Mизг2

+ Mкр2

=

Mx2

+ M y2 + Mкр2

(18.5)

МпрIV =

=

.

или

Mизг2 + 0,75Mкр2

M x2 + M y2 + Mкр2

(18.6)

Имея условие прочности, можно осуществлять проектировочный расчет

Woc ³

М пр

.

или подбор сечения вала:

[σ]

Поскольку

W

=

π d 3

= 0,1d3 ,

oc

3r

d ³ 3

Мкр

получаем

.

0,1[σ]

Расчеты на прочность и жесткость. По условию прочности,

наибольшее касательное напряжение не должно превышать допускаемого, т.е.

τmax = Мпр ≤ [τ]. Wρ

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18.1 Изгиб с кручением круглых валов

163

Отсюда при известном крутящем моменте и допускаемом напряжении можно определить необходимый момент сопротивления сечения, а затем и необходимый радиус или диаметр вала, т.е. выполнить проектировочный

расчет:

W

³

M пр

,

где

[ ] =

(0,5

÷

[ ]

ρ

[τ ]

τ

0,6) σ .

Для сплошного сечения

Wρ = 0,2D3.

Откуда

D ³ 3

Мкр

.

0,2[τ

]

Для

полого вала

надо

помнить,

что,

задаваясь

отношением

d

= α

D

πD3

(рис.18.4),

получаем

Wp =

(1 - α4 ) = 0,2D3(1 - α4 )..

16

d

D

Рисунок 18.4

Мкр

Окончательно:

D ³ 3

.

0,2[τ](1- α4 )

По условию жесткости максимальный относительный (абсолютный) угол

закручивания не должен превышать допускаемого, т.е.:

θmax =

Мпр

≤ [θ].

Мкр

GIρ

Откуда

Iρ ³

.

G[θ ]

Поскольку для сплошных круглых сечений Iρ = 0,1D4 ,

то D ³ 4

Мкр

.

0,1[θ]G

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

164	СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная и дополнительная литература

1Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1976. – 608 с.

2Дарков А.В. Сопротивление материалов/ А.В.Дарков, Г.С.Шпиро. - М.:

Высш. шк., 1989. - 624 с.

3Миролюбов И.Н. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. - М.: Наука, 1975. – 240 с.

4Ободовский Б.А. Сопротивление материалов в примерах и задачах/ Б.А.Ободовский, С.Е.Ханин. - Харьков: Изд. Харьк. ун-та, 1971. – 380 с.

5Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн./ В.Г.Піскунов, В.Д.Шевченко, М.М.Рубан та ін. - К.: Вища шк., 1995. – 490 с.

6Писаренко Г.С. Опір матеріалів/ Г.С.Писаренко, О.Л.Квітка, Є.С.Уманський. - К.: Вища шк., 1993. - 360 с.

7Сопротивление материалов/ Под ред. А.Ф.Смирнова. - М.: Высш. шк., 1975. – 480 с.

8Сборник задач по сопротивлению материалов/ Под ред. В.К.Качурина.

-М.: Наука,

9Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1986.- 540 с.

Методические указания, разработанные на кафедре

1Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Сопротивление материалов» (для студентов всех механических специальностей)/ Сост.: Овчаренко В.А., Никифоров Э.А., Зинченко Т.П., Гамарник А.П. – Краматорск: ДГМА, 1996.

2Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине «Сопротивление материалов»/ Сост. Овчаренко В.А. - Краматорск: ДГМА, 1992.

3Методичні вказівки до розрахунково-графічних завдань №1-3 з дисципліни “Опір матеріалів” (для студентів денної форми навчання усіх механічних спеціальностей)/ Укл.: Овчаренко В.А., Зінченко Т.П. – Краматорськ:

ДДМА, 1999.

4Методические указания к контрольным работам №1 и №2 по дисциплине «Сопротивление материалов» (для студентов заочной формы обучения всех механических специальностей)/ Сост. Овчаренко В.А. – Краматорск: ДГМА, 2000.

5Методические указания к контрольным работам №3 и №4 по дисциплине «Сопротивление материалов» (для студентов заочной формы обучения всех механических специальностей)/ Сост.: Овчаренко В.А., Соломин Н.А. – Краматорск: ДГМА, 2000

6Методические указания к контрольным работам по дисциплине «Сопротивление материалов» (для студентов заочной формы обучения

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

165

специальности «Информационные технологии проектирования»)/ Сост. Овчаренко В.А. – Краматорск: ДГМА, 2000.

7Методичні вказівки до розрахунково-графічних завдань з дисципліни “Опір матеріалів” (для студентів денної форми навчання спеціальності “Інформаційні технології проектування”)/ Укл. Овчаренко В.А.- Краматорськ:

ДДМА, 2000.

8Методические указания к курсовым расчетно-графическим работам по дисциплине “Сопротивление материалов”. Задания 4-6/ Сост.: Соломин Н.А., Деньщиков А.Ю. - Краматорск: ДГМА, 2001.

9Методические указания к контрольной работе: “Испытание на выносливость и построение кривой усталости с помощью ЭВМ” по дисциплине “Сопротивление материалов”/ Сост. Хлистун В.С. – Краматорск: КИИ, 1986.

10Методические указания к выполнению расчетно-графической работы “Определение внутренних усилий в балках” по дисциплине “Сопротивление материалов”/ Сост.: Овчаренко В.А., Галентовская Л.А.- Краматорск: КИИ, 1986.

11Методические указания для преподавателей по проведению практических занятий/ Сост.: Овчаренко В.А., Хлистун В.С., Зинченко Т.П., Гамарник А.П.- Краматорск: КИИ, 1988.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

166	ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

СТРУКТУРА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ И ЛЬГОТЫ

Экзаменационные билеты по дисциплине «Сопротивление материалов» содержат семь заданий, которые оцениваются следующими баллами:

теоретический вопрос	- 26 баллов
задача №1	- 40	баллов
задача №2	- 20	баллов
микровопрос 1	- 3,5 балла
микровопрос 2	- 3,5 балла
микровопрос 3	- 3,5 балла
микровопрос 4	- 3,5 балла
Всего:	100	баллов
Согласно принятой в ДГМА системе оценки результатов экзаменов студент
получает следующие оценки:
«отлично»	за 90…100 баллов,
«хорошо»	за 75…89		баллов,
«удовлетворительно»	за 55…74		баллов.

Кроме этого, на кафедре технической механики предусмотрены следующие льготы при сдаче экзамена для студентов, которые в течение семестра работали планомерно, вовремя и правильно выполняли и защищали РГР и с первой попытки решали задачи контрольных работ:

-при рейтинге 4,5 и выше – выставляется оценка «отлично» без сдачи экзамена (“автоматом”);

-при рейтинге 4,0…4,4, по желанию студента, выставляется экзаменационная оценка «хорошо» без сдачи экзамена (“автоматом”), если же студент идет на экзамен, то он освобождается от выполнения 40…50 % заданий по экзаменационному билету с зачетом ему максимальных баллов по заданиям, от которых студент был освобожден;

-при рейтинге 3,0…3,9 студент освобождается от 20…25 % задания экзаменационного билета с зачетом ему максимальных баллов по заданиям, от которых он был освобожден;

-если экзаменационная оценка, определяемая в баллах от 0 до 5 с точностью до 0,1, ниже, чем итоговый рейтинг, то по этим двум показателям определяется средняя арифметическая оценка, которая и выставляется в экзаменационную ведомость.

На экзамен вынесены все вопросы данного конспекта, перечень которых приведен в содержании.

Задача №1 во всех билетах имеет одинаковое содержание: «Построить эпюры N, Q и M и подобрать сечение рамы из условия прочности на изгиб».

Перечень задач №2 приведен в приложении Б.

Перечень микровопросов приведен в приложении B.

В приложении Г приведен пример экзаменационного билета.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ПРИЛОЖЕНИЯ							167
		Приложение Б
	ТИПЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАЧ № 2
Определить перемещение т. А, если			Определить наибольшее напряжение
Е = 2*105 МПа, F = 10 см2			σmax и полное удлинение стержня,
	EF		если Е = 2*105 МПа, F = 15 см2
c		q		2F		F
	A
			P	2P			3P
	P			b		a	c
	a	b
Определить касательное напряжение			Определить наибольшее нормальное
в точке К (τК ) при Q =80 кН			напряжение σmax при М = 40 кН·м
		4 см					6 см
							14 см
	K
		8 см
4	12 см	4	10 см		2	10 см
Определить наибольшее касательное			Определить нормальное напряжение
напряжение τmax при Q =50 кН			σК при М = 60 кН·м.
	24 см				30 см
		4 см				K
		20 см					24 см

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

168	ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение В

МИКРОВОПРОСЫ для подготовки к экзамену

Тема «Основные понятия сопротивления материалов»

1 Что изучает наука «Сопротивление материалов»?

2 Что называется прочностью, жесткостью и устойчивостью?

3 Что такое расчетная схема?

4 Что такое стержень и его ось, пластинка, оболочка?

5 Что представляет собой понятие «сплошная среда» и каковы ее свойства?

6Какие деформации называются упругими? Пластичными?

7Какие материалы называются анизотропными?

8В чем заключается метод сечений?

9В чем заключается гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений)?

10Как направлена, как обозначается и какой вид деформации вызывает: а) продольная сила? б) поперечная сила? в) изгибающий момент?

г) крутящий момент?

11В чем заключается принцип суперпозиции?

12Что представляет собой, что характеризует и по какой формуле вычисляется: а) предел пропорциональности? б) предел упругости? в) предел твердости?

г) предел прочности и временное сопротивление?

13Какие и сколько внутренних усилий возникает в стержне при его нагружении:

а) в пространстве? б) в плоскости?

14 Чему равна и как определяется в сечении: а) продольная сила? б) поперечная сила?

в) изгибающий момент? г) крутящий момент?

Тема «Растяжение-сжатие»

15 Чему равна продольная сила в сечении стержня?

16Что называется растяжением (сжатием)?

17Что называется эпюрой? Как строится эпюра продольных сил?

18Как определяется знак продольной силы в сечении?

19Что такое абсолютное удлинение? относительное?

20Какой вид имеет закон Гука при растяжении (сжатии): а) для абсолютной деформации?

б) для относительной деформации?

21Что такое модуль упругости первого рода и чему он равен для стали?

22Как связаны между собой продольная и поперечная деформации стержня?

23Что характеризует коэффициент Пуассона? Чему он равен для стали?

24Как распределяются нормальные напряжения по сечению стержня при растяжении - сжатии и как они определяются?

25Чему равна жесткость при растяжении-сжатии?

26Что такое допускаемое напряжение и как оно выбирается (определяется)? Укажите физический смысл и размерности входящих в формулу величин.

27Какой вид имеет диаграмма растяжения для малоуглеродистой стали?

28Что такое упругая и пластическая деформация?

29Как по диаграмме растяжения определить упругую и пластическую составляющие деформации?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com