Konspekt_SM_3

5.1 Дифференциальные зависимости между q, Q и M							49
Из уравнения (5.2), сократив на			M и пренебрегая членом				qdz	dz	как
величиной второго порядка малости, найдем							2
Q =		dM		.			(5.4)
			dz
Подставив (5.4) в (5.3) получим зависимость
q =	d 2M					.	(5.5)
		dz2

Соотношения (5.3)…(5.5) называют дифференциальными зависимостями при изгибе, из которых можно увидеть, что поперечная сила Q представляет собой первую производную от изгибающего момента M по длине бруса (формула

(5.4)).

Производная же от поперечной силы Q по длине бруса дает интенсивность внешней распределенной нагрузки q (формула (5.3)).

А из формулы (5.5) видно, что вторая производная от изгибающего момента М по длине бруса равна интенсивности распределенной нагрузки q.

Полученные зависимости могут быть использованы при построении эпюр

Qи M.

5.2Анализ дифференциальных зависимостей между q , Q и M .

Правила построения эпюр внутренних усилий

Из	соотношений (5.3)…(5.5) можно сделать некоторые общие						выводы
о характере эпюр изгибающих моментов M и поперечных сечений сил Q и
составить следующие правила построения эпюр:
1	Рассмотрим	случай,	когда			q = 0 , т.е. на рассматриваемом участке
балки отсутствует распределённая нагрузка.
Тогда согласно формулам (5.3)…(5.5):
				dQ	= q = 0,
				dz
получаем	Q = const = C1 , а		M = C1z + C2 .
Следовательно,		на участках, где				нет распределенной нагрузки	(q = 0 ),

эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базовой линии, а эпюры M

представляют собой наклонные прямые, тангенсы углов наклона которых равны

Q (рис.5.2).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

50	5 ИЗГИБ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР

Q

M

Рисунок 5.2

2 Если на некотором участке:

а) Q > 0 (см. рис.5.2, а), т.е. tg α >0, то эпюра моментов M возрастает

(при построении эпюры слева направо), т.е. вдоль положительного			направления
оси z (см. рис.5.2, а);
б) Q < 0 , т.е. tg α< 0, то эпюра моментов M убывает (см. рис.5.2, б).
3 На участках, где	к балке	приложена равномерно распределенная
нагрузка q = const = C	(рис.5.3),	эпюра поперечной силы	Q согласно

формуле (5.3) ограничена наклонной прямой

Q = Cz + C 1,

а эпюра изгибающего момента - квадратичной

параболой

M = C

z2

+ C1z + C2 .

2

q

q

а	б
	Рисунок 5.3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5.2 Анализ дифференциальные зависимости между q, Q и M									51
Поскольку эпюру M строим на сжатых волокнах,							то выпуклость кривой
направлена		в	сторону,		противоположную	направлению		действия
распределенной нагрузки q (см. рис.5.3).						M параллельна базовой
2	В сечениях, где Q = 0 , касательная к эпюре
линии (см. рис.5.3), а значение M – экстремально. Если							Q переходит		через
ноль, меняя знак с áá+ññ				на áá-ññ , то M = Mmax (см. рис.5.3, а), а при изменении
знака с áá-ññ		на áá+ññ -		M = Mmin (см. рис.5.3, б).
3	В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:
а)	на эпюре Q будут скачки на величину этих сил (рис.5.4) и с учетом их
знаков; причем следует отметить, что при построении эпюр слева направо
направление скачка совпадает с направлением силы;
б)	на	эпюре	M будут		изломы, острия которых направлены				против
направления сосредоточенной силы (см. рис. 5.4).
								z
									Q
									M
					Рисунок 5.4

4 В сечениях, где к	балке приложены сосредоточенные		моменты
(рис.5.5), на эпюре M будут скачки на величину внешних моментов с учетом их
знаков, причем линии эпюры	М до скачка и после него параллельны, а на
эпюре Q изменений не будет. Следует, однако, отметить, что,		если в одном
сечении приложены и сила, и момент, то сила вызывает перелом		и	нарушает
параллельность.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

52	5 ИЗГИБ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР
М1	М2
	z
	Q
М1	М2
	M
Рисунок 5.5

5 Если на конце консоли или в концевой опоре к балке приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (рис.5.6, сечение С).

M1	А	B
	С

M

M

1

Рисунок 5.6

Если же в шарнирной опоре

внешний момент отсутствует, то в ней

изгибающий момент M = 0 (см.

рис.5.6, сечение B), что имеет место в

большинстве случаев.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5.3 Принцип построения эпюр Q и M для балок по характерным сечениям		53
	5. 3 Характерные сечения.
Принцип построения эпюр Q и M для балок по характерным
сечениям.	Проверка правильности построения эпюр
Наиболее удобно	строить эпюры Q и M по характерным сечениям.

Характерными сечениями считаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка, сечения, в которых Q обращается в

нуль, а также в местах изменения направления оси стержня или величины его поперечного сечения.

Можно рекомендовать следующий порядок построения эпюр:

1Найти опорные реакции (для консоли реакции можно не находить и строить эпюру от “свободного” конца балки, но при этом будет невозможно осуществить проверку правильности построения эпюр).

2Отметить характерные сечения.

3Вычислить значения Q в характерных сечениях, затем, “двигаясь”

вдоль балки (желательно слева направо), построить эпюру Q , используя

вышеописанные правила.				M в характерных сечениях. Построить эпюру
4	Вычислить		значения
M по	этим	значениям, используя приведенные ранее правила.
Проверка правильности				построения	эпюры	Q и M сводится к
построению		эпюры	при “движении”, противоположном первоначальному
(например, справа			налево). Кроме этого		следует	обратить внимание на
направление скачков и наклонов прямых на					эпюре	M .

Рассмотрим пример построения эпюры для балки, показанной на рис .5.7.

1 Сначала определим реакции опор. Поскольку все возникающие силы направлены вертикально, то горизонтальная реакция шарнирно-подвижной опоры будет равна нулю.

Для определения RA и RB составим уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно точек В и А:

Σ M B = 0 ;	- RA ×6 + P ×5 + q × 2 ×4 + M = 0	Откуда	RA = 51 кН.
Σ M A = 0;	RB ×6 + M - q × 2 × 2 - P ×1 = 0	Получаем	RB = 15 кН.

Осуществляем проверку найденных реакций:

ΣY = 0 ; PA - P - q × 2 + RB = 0 ; 51- 30 - 18 × 2 + 15 = 0 .

Получаем тождество. Следовательно, RA и RB найдены верно.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

54								5 ИЗГИБ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР
	у	Р=30 кН		q=18 кН/м
						М=12 кН
А		1						В	z
		2	3	К	4	5		6
	RA=51кН							RB=15кН
		1 м		2 м			3 м
			ZЭ =1,17м
51
			21
									Q	, кН
								15
				Мmax=63,25
						57
		51				45
									M	, кНм
				Рисунок 5.7

2Обозначим 6 характерных сечений (см. рис.5.7). Обычно их нумеруют арабскими цифрами.

3Будем строить эпюры Q и M , “двигаясь” слева направо.

Все найденные значения Q и M в характерных сечениях сведем в таблицу 5.1.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	5.3 Принцип построения эпюр Q и M для балок по характерным сечениям							55
		Таблица 5.1
	Сеч.				Qi , кН		Mi , кН·м
	1		Q1 = RA = 51;			M1 = 0;
	2		Q2 = RA = 51;			M 2 = RA ×1 = 51;
	3		Q3	= RA - P = 21;		M 3	= M 3 = 51;
	4		Q4	= RA - P - q* 2 = -15;		M 4	= RA × 3 - P × 2 - q × 2 ×1 = 57;
	5		Q5	= Q4	= -15;	M 5	= M 4 - M = 45;
	6		Q6	= Q5	= -15.	M6	= RA ×6 - P × 5 - q × 2 × 4 - M = 0.

4 Отложим полученные значения Qi и Mi	от соответствующих базовых
линий в выбранном масштабе (масштабы Q и M можно выбирать независимо
друг от друга). Соединим полученные точки прямыми (за исключением участка
3- 4 на эпюре M ).
1 Согласно правилам 2 и 4 эпюра M	на участке 3-4 ограничена

квадратичной параболой, выпуклость которой направлена вверх (навстречу направлению нагрузки q ).

Парабола

имеет

экстремум M = M max в точке

К,

где Q = 0.

Координату этой точки ZК

удобно находить по формуле

ZК =

Qлев

,

(5.1)

q

где Qлев – значение

поперечной

силы

слева

от

экстремума,

т.е.

в нашем случае Qлев = Q3 = 21 кН;

q –

интенсивность

распределенной

нагрузки.

Найдем

ZК =

2,1

= 1,17 м.

18

Откуда

M max = RA × 2,17 - P ×1,17 - q ×1,17 ×0,585 = 63,25 кН·м.

Отложим

на эпюре

M

точку

M max = 63.25

кН·м

и построим

параболу.

Построение эпюр закончено. Заштрихуем эпюры перпендикулярно

базовой линии.
Проверим правильность			построения эпюр.
1 В	сечениях 1 и	6 нет внешних сосредоточенных моментов, т.е. M = 0 ,
что и	отражено на	эпюре	M .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

56		5 ИЗГИБ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР
2	На участках	1-2 и далее до точки К Q > 0 - эпюра M возрастает. На
остальной части		балки Q < 0 - эпюра M убывает.
3	На эпюре M в сечениях 1, 3 и 6 видны изломы (обведены кружками),

острие каждого из которых направленно навстречу силам, соответственно,

RA , P и RB .

4 Проверим построение эпюры Q , “двигаясь” справа налево:

Q6 = -RB = -15кН (знак «-», т.к. RB стремится повернуть балку относительно сечения 6 против хода часовой стрелки);

Q5	= Q6 = -15 кН (на участке 6-5 нет сосредоточенных сил);
Q4	= Q5 = -15кН (сосредоточенный момент M не влияет на эпюру Q );
Q3	= -RB + q × 2 = 21кН (распределенная нагрузка q стремится
повернуть балку в положительную сторону, т.е. по ходу часовой стрелки);
Q2	= -RB + q × 2 + P = 51 кН (сила P тоже положительна);

Q1 = Q2 = 51кН = RA .

3 Построим эпюру M , “двигаясь” справа налево:

M6 = RB ×0 = 0 ;

M5 = RB × 3 = 45 кН·м (сила RB вызывает сжатие верхних волокон,

поэтому эпюру M строим вверх от базы);

M 4 = M5 + M = 57 кН·м (скачок вверх);

M 3 = RB × 5 + M - q × 2 ×1 = 51 кН·м (на участке 4-3 квадратичная парабола направлена выпуклостью вверх);

M 2 = M3 = 51 кН·м (сила P не влияет на эпюру M ).

M1 = RB ×6 + M - q × 2 × 2 - P ×1 = 0 .

Проверка окончена.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5.4 Построение эпюр для рам	57
5. 4	Построение эпюр для рам

Рама – конструкция, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных жесткими узлами. Ось рамы представляет собой ломаную линию, однако каждый её прямолинейный участок можно рассматривать как балку.

Вертикально расположенные стержни рамы принято называть стойками, а горизонтальные – ригелями. Жесткость узлов устраняет возможность взаимного поворота скрепленных стержней, т.е. в узловой точке углы между их осями остаются неизменными.

Рамы имеют один или несколько жестких узлов. В жестком узле торцы

соединяемых стержней не имеют относительных поступательных перемещений, а также относительных поворотов. Каждый прямолинейный

участок рамы можно рассматривать как балку и строить эпюру для каждого участка отдельно.

В отличие от обыкновенных балок в сечениях рамы, кроме M и Q ,

действуют еще продольные силы N . Следовательно, для рам необходимо строить эпюры N , Q и M .

Для сил N и Q сохраняются ранее принятые правила знаков:

-N >0, если продольные силы вызывают растяжение;

-Q >0, если поперечные силы стремятся вращать части рассеченной рамы

(относительно точек, близких к сечению) по часовой стрелке.

Для M специального правила знаков не устанавливают, а при составлении выражений для изгибающих моментов принимают какой-либо момент положительным по собственному усмотрению.

Решение задачи начинают с определения опорных реакций. Если рама имеет опору в виде жесткой заделки, то реакции, как правило, не определяют, а построение эпюр ведут со свободного конца рамы.

Усилия определяют в характерных сечениях рамы, т.е. в начале и в конце участков и в узловых сечениях. Изгибающий момент в сечении

	определяют так же, как и для балки, а	откладывают на сжатых волокнах
	рамы. Ординаты усилий откладывают перпендикулярно к оси рамы.
	Рассмотрим пример построения эпюры для балки, показанной на рис.5.8.
	Определим реакции опор:					c2
	åMB = 0; M - R1 ×(a + b)+ P×( d - a )+ q						= 0
	R1 = 18,4 кН;			2
			c	2	- R3 ×(a + b)= 0
	åM A = 0; M + P×( d + b )+ q
	R3 = 40,4 кН;	2

å X = 0; R2 = q ×c =15кН;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

58	5 ИЗГИБ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР

P = 22 кН

d

= 2,2 м

В

7

8

кН/ м

R3 = 40,4 кН

= 6

q

1

2

а = 1 м

С 6			M = 10 кН × м
		5	А
4			R2 = 15 кН
	м	R1	= 18,4 кН
	с = 2,5
3

b = 2 м

Рисунок 5.8

Проверка: åY = 0; − R + R		− P = 0
1	3
−18,4 + 40,4		− 22 = 0; 40,4 = 40,4.

Расставим характерные сечения и пронумеруем их так, чтобы они сходились к одному узлу, например, к узлу С.

Определим значения продольных сил в характерных сечениях, для чего необходимо спроецировать силы, приложенные к части рамы, лежащей по одну сторону от рассматриваемого сечения. Таким образом, получаем:

N1 = N2 = 0;	N3 = N4 = -R3 = -40,4 кН ;
N5 = N6 = -R2 = -15 кН ;	N7 = N8 = 0.
По этим данным строим эпюру N . Она имеет вид двух прямоугольников,
расположенных на правом ригеле и на стойке.
Определим значения поперечных сил в характерных сечениях. В любом
сечении на участке 1-2 поперечная	сила равна R3 и имеет положительное

значение, т.к. стремится повернуть участок по часовой стрелке. На участке 5-6 поперечная сила также положительна и равна R1, а на участке 7-8 поперечная сила отрицательная и равна Р. В сечении 3 поперечная сила ещё равна 0, а затем, по мере приближения к сечению 4, она возрастает и достигает значения qc, имея при этом отрицательный знак.

Q1 = Q2 = R3 = 40,4 кН ; Q3 = 0; Q4 = -q ×c = -15 кН;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com