7.3. Диэлектрическая проницаемость при очень высоких частотах.

Из простых физических соображений можно сразу предположить, что при ω → функция ε(ω) должна стремиться к единице, т.к. при очень быстропеременном поле процесса поляризации, приводящего к отличию индукции D от напряженности E электрического поля не должны происходить. Установим эту зависимость.

В соответствии с только что сказанным, мы должны положить частоту ω значительно большей частот движения всех электронов в атомах (или, по крайней мере, их большинства) данного вещества (частота движения – величина обратная соответствующему времени релаксации). При этом условии при вычислении поляризации вещества можно рассматривать электроны как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов. (Напомним – у нас еще выполнено условие (7.2) λ >> a или эквивалентное ω/2π = ν << с/a , необходимое для использования макроскопической теории.)

При указанных условиях, расстояния υ , проходимые электронами в течение периода волны, малы по сравнению, как с длиной волны λ, так и с размером a атома. Кроме этого при определении скорости и смещения, приобретаемым электроном в поле электромагнитной волны, последнее (поле) можно считать однородным.

Уравнение движения электрона в переменном (во времени) поле имеет вид m = eE = eE₀e^–iωt , где m, e – масса и заряд электрона, а E₀ –амплитуда переменного поля. Представим скорость υ движения электрона в виде υ = υ₀ + и, соответствующее им смещение r = r₀ + , и учтем, что для реальных полей υ₀ >> r₀ >> . Тогда уравнение движения примет вид m = eE₀ e^–iωt . Дважды проинтегрировав это уравнение, получим ( = ) = – eE/mω² . Полученное выражение относится к любому электрону в атомах вещества. Поляризация вещества Р есть дипольный момент единицы его объема (Р = n<р>). Суммируя по всем электронам, находим Р

Р = = – NE ,

Где N – число электронов во всех атомах единицы объема вещества. По определению электрической индукции D = εE = Е +4πР. Отсюда получаем следующее выражение для ε:

ε(ω) = 1 – . (7.16)

Фактическая область применения этой формулы начинается от дальнего ультрафиолета у самых легких элементов или от рентгеновских частот у более тяжелых элементов. И заметим, что данная формула работает и для частот (длин волн) выше границы применимости макроскопической теории, т.е. может ω/2π >> с/a или λ << a .

Итак, из выражения (7.16) видно, что для очень больших частот ε(ω) растет с увеличением частоты, приближаясь к единице снизу.

7.4. Связь вещественной и мнимой частей диэлектрической и магнитной проницаемостей – уравнения Крамерса – Кронига. Свойства функции ε(ω).

Ранее мы установили связь между D и E, которая для монохроматических полей имеет вид D = ε(ω)E (7.9), где функция ε(ω) определяется как ε(ω) = 1 + (7.10). При этом ε(ω) комплексная ε(ω) = ε^′(ω) + i ε^′′(ω) (7.11) и ε^′(ω) – четная, а ε^′′(ω) – нечетная функции. Кроме того, сразу отметим еще одно свойство последней, – она всегда положительная ε^′′(ω) > 0 (μ^′′(ω) > 0). Эта составляющая, как будет показано ниже, определяет потери (диссипацию) переменного электромагнитного поля на переполяризацию и перемагничевание вещества, идущие на нагрев последнего (как при гистерезисе) и согласно второму закону термодинамики – энтропия растет и, соответственно, ε^′′(ω) > 0 .

Между вещественной и мнимой частями диэлектрической (и магнитной) проницаемости имеется определенная связь, установленная Крамерсом и Кронигом (H.A.Kramers, R.L. Kronig) в 1927 г, которая имеет вид:

ε^′(ω) – 1 = (7.17)

ε^′′(ω) = – , (7.18)

где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл от полюсного выражения понимается в смысле его главного значения:

= +

Так как ε^′′(ω) нечетная функция, то (7.17) можно переписать еще и так

ε^′(ω) – 1 = = + =, произведя в первом интеграле замену переменной x на –x и учтя, что ε^′′(–x) = – ε^′′(x) получим

= + ==

= =,и окончательно имеем:

ε^′(ω) – 1 = . (7.19)

Для проводников в точке ω = 0, как мы ранее отметили, функция ε(ω) имеет полюс (особенность при ω → 0), вблизи которой ε(ω) = (7.15). Эта мнимая добавка, соответственно, присутствует и в выражении (7.18) для мнимой составляющей диэлектрической проницаемости ε^′′(ω) и для проводников оно имеет вид:

ε^′′(ω) = – + . (7.20)

Формулы (7.17) и (7.19) для вещественной части диэлектрической проницаемости ε^′(ω) остаются прежними.

Из приведенных выражений для ε^′(ω) и ε^′′(ω) особенно существенна формула (7.17) (или (7.19)). С ее помощью можно вычислить ε^′(ω), если для данного тела известна хотя бы приближенная формула для ε^′′(ω), полученная, например, империческим путем, лишь бы при ω > 0 величина ε^′′(ω) была положительной ε^′′(ω) > 0 (это ее необходимое физическое свойство, отмеченное ранее). При этом, вычисление по формуле (7.17 или 7.19) дает функцию для ε^′(ω) не противоречащую никаким физическим требованиям для нее, т.к. знак и величина ε^′(ω) не ограничиваются никакими физическими условиями. Это обстоятельство и дает возможность использовать формулу (7.17 или 7.19) даже по приближенной функции ε^′′(ω). Напротив, формула (7.18) при использовании в общем случае произвольной функции ε^′(ω) не обеспечивает автоматическим образом положительность результата вычисления (положительность значения функции ε^′′(ω) – ее основного физического свойства).

В теории дисперсии принято записывать выражение для ε^′(ω) в виде

ε^′(ω) – 1 = – , (7.21)

где e и m – заряд и масса электрона, а функция f (ω)dω (здесь x заменено на ω, ведь x это та же частота) называется силой осцилляторов в интервале частот dω. Сравнивая выражение (7.21) с (7.19) получим

f (ω) = ωε^′′(ω). (7.22)

Отметим, у металлов f (ω) стремится к конечному пределу при ω → 0 (ε^′′(ω) = смотри (7.20) и (7.15)).

При достаточно больших значениях ω в подынтегральном выражении в (7.19) можно пренебречь x по сравнению с ω, и не писать главного значения интеграла. (В этом случае оставшееся подынтегральное выражение не имеет особенностей – функция ε^′′(x) > 0 и конечная, т.е. ω больше любых собственных резонансных часто вещества.) Тогда (7.19) примет вид:

ε^′(ω) – 1 = – . (7.23)

Выражение (7.23) дает поведение ε^′(ω) при очень больших частотах. Но с другой стороны, это же поведение мы уже получили ранее, и оно описывается формулой (7.16). Так как результат должен быть одинаковым, независимо от способа его получения, то сравнение обоих выражений (7.16) и (7.23) с учетом (7.22) дает:

= =N, (7.24)

где N – полное число электронов в единице объема вещества. Соотношение (7.24) носит название – правило сумм.

Если ε^′′(ω) не имеет особенности при ω = 0 (например, диэлектрики), то в формуле (7.19) можно перейти к пределу при ω → 0, и мы получим

ε^′(0) – 1 = . (7.25)

Если же точка ω = 0 является особой для функции ε^′′(ω) (проводник – металлы), то для вычисления указанного предела (ω → 0) необходимо предварительно заменить в подынтегральном выражении ε^′′(ω) на

ε^′′(ω) – (тем самым мы, как бы исключаем эту особую точку у ε^′′(ω), т.к. при ω → 0 она равна ε^′′(ω) = (7.15)). Кроме того, эта замена не меняет значение интеграла, т.к. в результате “добавка” тождественно равна нулю –

= – , а последний интеграл и соответственно “добавка” равны нулю

= 0.

Для диэлектриков формулу (7.25) можно переписать в виде

ε₀ – 1 = , (7.26)

где черта над ω² обозначает усреднение с помощью силы осцилляторов:

= .

Это выражение (7.26) может быть полезным при различных оценках величин ε₀.

Особенность для магнитной проницаемости.

Все изложенные результаты (с небольшим видоизменением) относятся и к магнитной проницаемости μ(ω). Отличие связано прежде всего с тем, что при увеличении частоты функция μ(ω) сравнительно рано теряет физический смысл. Поскольку релаксационные процессы при установлении магнитных моментов атомов и молекул весьма велики из-за значительной массы последних, а в ферромагнетиках еще и длина волны переменного электромагнитного поля становится сравнимой (и даже меньше) с размерами доменов. Поэтому, например, применять формулы Крамера – Кронига к μ(ω) надо следующим образом. Вместо бесконечного рассматриваем конечный интервал значений ω (от 0 до ω₁), простирающийся до таких частот, при которых μ еще имеет смысл, но уже перестает меняться и ее мнимую часть можно считать равной нулю; соответствующее вещественное значение μ обозначим как μ₁. Тогда формулу (7.19) надо писать в виде:

μ^′(ω) – μ₁ = . (7.27)

В противоположность ε₀, значение μ₀ = μ(0) может быть как меньше, так и больше 1. Изменение же μ(ω) вдоль мнимой оси по-прежнему является монотонным убыванием – на этот раз от μ₀ до μ₁< μ₀.