- •Содержание
- •Введение
- •Библиографический список
- •1. Организационно-экономическая сущность задачи
- •1.1. Понятия производственной программы предприятия
- •1.2. Оптимизация производственной программы
- •2. Математическая постановка задачи и метод её решения
- •2.1. Формализация задачи
- •2.2. Метод решения
- •2.3. Алгоритм решения задачи
- •2.4. Решение задачи. Вариант №2
2.4. Решение задачи. Вариант №2
Оптимизация производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.
Нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:
= 0,4 (чел.-час); = 0,2 (чел.-час);= 0,1 (чел.-час),
а нормы металлоемкости тех же изделий – значения:
= 0,4 (кг); = 1 (кг);= 2,5 (кг).
Суммарная трудоемкость производственной программы определяется величиной
= 4400 (чел.-час),
а суммарная металлоемкость –
= 14000 (кг).
Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:
= 1200 (руб.); = 1000 (руб.);= 1700 (руб.).
Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) (), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:
y = 1200+ 1000+ 1700;
0,4 + 0,2+ 0,1= 4400;
0,4 + 1+ 2,5= 14000;
0, 0,0.
В пространстве переменных () первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость, проходящую через точки:
(= 4400/0,4 = 11000,= 0,= 0);
(= 0,= 4400/0,2 = 22000,= 0);
(= 0,= 0,= 4400/0,1 = 44000).
Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.
Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:
(= 14000/0,4 = 35000,= 0,= 0);
(= 0,= 14000/1 = 14000,= 0);
(= 0,= 0,= 14000/2,5 = 5600).
Плоскость также изображена на рис. 1.
Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:
- линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0,= 0,= 0 в точкахсоответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;
- условия 0,0,0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями= 0,= 0, а конец этого отрезка суть точкии. Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке, либо в точке;
- точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.
Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере
Находим координаты точки = () решая систему уравнений:
0,2+ 0,1=4400,
1+ 2,5= 14000.
Получаем: = 0;
= (4400*2,5 – 0,1*14000)/(0,2*2,5 – 0,1*1) = 24000;
= (0,2*14000 – 4400*1)/(0,2*2,5 – 0,1*1) = -4000
Значение второй компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:
1200*24000 – 1000*4000 = 24800000,
но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.
Находим координаты точки = (), решая систему уравнений:
0,4+ 0,1= 4400,
0,4+ 2,5= 52000.
Получаем:
= (4400*2,5 – 0,1*14000)/(0,4*2,5 – 0,1*0,4) =10000;
= 0;
= (0,4*14000 – 4400*0,4)/(0,4*2,5 – 0,1*0,4) = 4000.
Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :
= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000.
При вычислении координат точки = () путем решения системы уравнений
0,4+ 0,2= 4400,
0,4+ 1= 52000,
получаем:
= (4400*1 – 0,2*14000)/(0,4*1 – 0,2*0,4) =5000;
= (0,4*14000 – 4400*0,4)/(0,4*1 – 0,2*0,4) =12000;
= 0.
Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :
= 1200*5000 + 1000*12000 = 18000000.
Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:
0 = <= 18.000.000 <= 18.800.000.
Можно видеть, что оптимальной является вторая производственная программа, соответствующая наибольшему значению целевой функции.
Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:
- изделия второго типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия –
= 0;
- объем производства изделий первого типа запланировать в количестве
= 10000 (шт.);
- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве
= 4000 (шт.).
При этом предприятие получит наибольший возможный доход:
= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000 (руб)., т.е. 18,8 млн.руб.
Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.
Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.
Таблица 1
Оптимальная производственная программа предприятия
Тип изделия |
1 |
2 |
3 |
Объем производства, шт. |
10000 |
0 |
4000 |
Доход предприятия, руб. |
18800000 |