Математическое ожидание дискретной, случайной величины.

Математическим ожиданием М [x] дискретной случайной величины Х называться сумма произведений ее значений на соответствующие вероятности

М [x] = х₁ р₁ + х₂ р₂ + .........+ х_m р_m

Пример. Найти мат ожидание выигрыша на один билет в условиях примера из предыдущего пункта.

Решение.

М [x] = 0 * 89/100 + 1 * 10/100 + 50 * 1/100 = 0,6 рублей.

Устойчивость статистической средней.

Пусть проведено п испытаний, в которых случайная величина приняла п, раз значение х₁, п₂ раз значение х₂ , ........, п_m раз значение х_m .

Средняя арифметическая из этих значений.

= (х₁ п₁ + х₂ п₂ + .......+ х_m п_m ) /п , называется СТАТИСТИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ.

Теорема (свойство устойчивости статистической средней).

При большом числе испытаний статистическая средняя близка к матожиданию:

≈М [x]

(и тем ближе, чем больше испытаний).

Это свойство позволяет по известному ожиданию приблизительно предсказать статистическую среднюю и сумму значений случайной величины при заданном числе испытаний.

Пример. В условиях примера из предыдущего заголовка предсказать средний выигрыш на один билет и общую величину выигрыша для владельца двухсот билетов.

Решение. Средняя величина выигрыша на один из двухсот билетов

≈М [x] = 0,6 рублей ≈ 0,6 общий выигрыш ≈ 0,6 * 200 = 120 рублей.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

дискретной случайной величины.

Дисперсией Д [x] случайной величины Х называется число :

Д [x] = (х_к - М [x])² Р_к

Среднеквадратическим отклонением σ [x] случайной величины Х называется квадратный корень из ее дисперсии:

σ [x] =

Пример вычисления дисперсии и среднеквадратического отклонения см. в разделе «Образец решения контрольной работы», задача 4.26. Д [x] и σ [x] служат мерой рассеяния значений случайной величины около ее ожидания.

Плотность распределения непрерывной

случайной величины.

Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток [а, в], то она называется непрерывной.

Например. Некоторого маршрута отправляются каждые 45 мин. Время ожидания для пассажира, наугад пришедшего на остановку, есть непрерывная случайная величина со значениями в промежутке [0,45].

Пусть х- любое значение из [а, в]. Обозначим как Р(х < Х < х + Δх) вероятность того, что Х примет какое-нибудь значение в промежутке (х , х + Δх). Величина Р(х < Х < х + Δх)/ Δх есть средняя плотность вероятности на этом промежутке (вероятность, приходящаяся на единицу длины).

Предел средней плотности при стягивании промежутка (х, х + Δх) в точку х:

F(х) = называется ПЛОТНОСТЬЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х.

Зная плотность f(х), можно получить любое сведения о случайной величине (вычислить вероятность попадения в заданный промежуток, найти матожидание и др.).

Матожидание и дисперсия непрерывной

случайной величины.

Вычисляются по формулам:

М [x] = (х) х d х.

Д [x] = (х - М [x])² f (х) d х.

Пример. Непрерывная случайная величина Х распределена в промежутке [0,3] с плотностью f (х) = х²/9. Найти матожидание и дисперсию Х.

Решение.

М [x] = * d х = ,

Д [x] = (х * d х = .

Вероятность попадания в заданный промежуток

(общий случай)

Вероятность Р(α < X < β), того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-нибудь значение в заданном промежутке (α , β), вычисляется по формуле:

Р(α < X < β) = f (х) d х

Пример. Для случайной величины из примера предыдущего подзаголовка найти вероятность попадания в промежуток (1.2).

Решение.

Р(1 < X < 2) = d х .

Нормальное распределение.

Если случайная величина Х может принимать любое значения, а ее плотность распределения есть:

f (х) = l^{-(х-а)2/ (2σ2)}, (σ> 0, а – любое)

то она считается распределенной по нормальному закону..

используя формулы подзаголовка «Матожидание и дисперсия непрерывной случайной величины», найдем:

М [x] = а, σ [х] = σ.

Многие случайные величины распределены по нормальному закону. Среди них- ошибки измерений и отклонения размеров деталей от номинала.