- •Лабораторная работа 3. Представление чисел в позиционных системах счисления Теоретическое обоснование
- •Алгоритм перевода из р-й системы в 10-ю:
- •Перевод из 8-й (16-й) системы счисления в 2-ю систему
- •Представление информации в памяти эвм Теоретическое обоснование
- •Представление текстовых данных
- •Представление графических данных
- •Представление звуковых данных
Лабораторная работа 3. Представление чисел в позиционных системах счисления Теоретическое обоснование
Совокупность приемов наименования и записи чисел называется системой счисления. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом.
Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной, в противном случае - непозиционной системой.
В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (цифр или знаков), с помощью которого можно представить любое число. Если алфавит состоит из двух цифр 0 и 1, то система двоичная. В десятичной системе алфавит состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9. В восьмеричной - из восьми: 0, 1, 2, 3, …,7. В шестнадцатеричной - используется десять цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и буквы латинского алфавита A (обозначает цифру 10), B (11), C(12), D(13), E(14), F(15). Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа - младшего разряда.
Алгоритм перевода из 10-й системы в Р-ю (Р-целое, положительное число):
Целая и дробная части числа переводятся отдельно.
Целая часть числа последовательно делится нацело на величину Р и остатки от деления записываются, начиная с последнего как результат.
Дробная часть числа последовательно умножается на Р и целые значения записываются, начиная с первого как результат. Умножение выполняется до получения в дробной части 0 или с указанной точностью (по умолчанию – 6 знаков после запятой).
Пример 1. Перевести число Х=165,410 в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы счисления.
Перевод целой и дробной части Х в 2-ю систему счисления:
165 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-164 |
82 |
2 |
|
|
|
|
* |
0,4 |
* |
0,8 |
* |
0,6 |
* |
0,2 |
* |
0,4 |
* |
0,8 |
1 |
-82 |
41 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
0 |
40 |
20 |
2 |
|
|
|
0,8 |
|
1,6 |
|
1,2 |
|
0,4 |
|
0,8 |
|
1,6 |
|
|
1 |
-20 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-10 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число Х в 2-ной системе счисления: Х= 165,410 =10100101,0110012
Аналогично выполняется перевод в 8-ю и 16-ю системы.
165 |
8 |
|
|
-160 |
20 |
8 |
|
5 |
-16 |
2 |
|
|
4 |
|
|
* |
0,4 |
* |
0,2 |
* |
0,6 |
* |
0,8 |
* |
0,4 |
* |
0,2 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 | ||||||
|
3,2 |
|
1,6 |
|
4,8 |
|
6,4 |
|
3,2 |
|
1,6 |
Число Х в 8-ной системе счисления: Х = 165,410 = 245,3146318
165 |
16 |
|
|
|
|
* |
0,4 |
* |
0,4 |
-160 |
10 |
это |
А |
|
|
16 |
16 | ||
5 |
|
|
|
|
|
|
6,4 |
|
6,6 |
Число Х в 16-ной системе счисления: Х = 165,410 = А5,666…16=А5,(6)16
Перевод из Р-й системы в 10-ю (Р - целое, положительное число):
Любое число Х в позиционной системе счисления P можно представить в виде ряда:
где ХР – запись числа в системе счисления с основанием Р; хi - целое положительное число, меньше Р; n – число разрядов в целой части числа;
m – число разрядов в дробной части числа.
Такая схема называется схемой Горнера.