LR2

	Теория электрических и радиотехнических цепей
s k tд	на k-ю базисную функцию k t (построить графики, например, для k =
0, 1, 2, ...) и результат их суммирования;
-	функцию sε t , представляющую результат восстановления исходного

непрерывного сигнала s t по набору его дискретных отсчетов s k tд (по-

строить график) и построить в той же координатной сетке график исходного непрерывного сигнала s t ;

-функцию t sε t s t , представляющую модуль разности между

сигналами sε t и s t (построить график);

-квадрат расстояния между сигналами sε t и s t ;

-квадрат расстояния между сигналами sε t и s t , выраженный в про-

центной мере относительно квадрата нормы сигнала s t ;

Кроме того, необходимо исследовать, как влияет изменение верхней граничной частоты спектра fВ, Гц, сигнала s t на квадрат расстояния между сигна-

лами sε t и s t , выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t .

Рассмотрим решенин поставленной задачи в математическом пакете Math-

cad:

1) запускаем математический пакет Mathcad. Согласно (2.8) и заданным параметрам вводим математическое определение непрерывного сигнала s t и

строим его график (рисунок 2.7).

11

Теория электрических и радиотехнических цепей

Рисунок 2.7 – Определение и график непрерывного сигнала s t

2) по рассмотренной в лабораторной работе методике определяем верхнюю граничную частоту спектра fВ сигнала s t на основе энергетического подхода,

полагая коэффициент уменьшения энергии сигнала по причине искусственного ограничения ширины его спектра KE равным 0,903:

2.1) находим по формуле (1.30) спектральную функцию сигнала s t (рису-

нок 2.8);

Рисунок 2.8 – Определение спектральной функции сигнала s t

2.2) используя результаты определения верхней эффективной граничной частоты спектра сигнала, полученные на первой лабораторной работе, выполним следующие действия:

- зададимся начальным приближением параметра fB = 1 кГц (fb:= 1);

- запишем в блоке Given уравнение относительно искомой граничной частоты спектра fb, полагая коэффициент уменьшения энергии сигнала по причине

12

Теория электрических и радиотехнических цепей

искусственного ограничения ширины его спектра диапазоном от –fb до fb, рав-

ным 0,903 (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 – Определение граничной частоты спектра сигнала s t

Приходим к выводу, что первый лепесток спектральной функции содержит 90,3% энергии прямоугольного импульса (рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 – Граничные частоты спектра прямоугольного импульса

Примечания

1.Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать на Mathcad блок Given в сочетании с функцией Find. Внимание! В блоке Given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

2.Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова Given.

3.При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=

4.Перед словом Given необходимо указывать начальные приближения для

всех переменных.

13

Теория электрических и радиотехнических цепей

5.Блок Given не пригоден для поиска индексированных переменных.

6.Признаком окончания системы уравнений служит функция Find, если вы хотите найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и есть желание найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

7.Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок Given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

8.В том случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в красной рамке Did not find solution – решение не найдено.

3) в соответствии с теоремой Котельникова, вычисляем по формуле (2.2) частоту дискретизации fД, кГц, и период дискретизации tд, мс, сигнала s t (ри-

сунок 2.11).

Рисунок 2.11 – Вычисление частоты дискретизации и периода дискретизации сигнала s t

Как видно из расчетов, приведенных на рисунке 2.11, частота дискретизации fД сигнала s t , удовлетворяющая теореме Котельникова, составляет 2 кГц,

апериод дискретизации tд соответственно равен 0,5 мс.

4)по формуле (2.6) определяем количество отсчетов дискретного сигнала

(рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 – Определение количества отсчетов дискретного сигнала

Примечание – Встроенная в Mathcad функция floor(z) возвращает целое число меньшее или равное z. Например, floor (3.364) = 2.

14

Теория электрических и радиотехнических цепей

5) формируем вектор дискретных отсчетов s k tд (k = 0, 1, 2) непрерыв-

ного сигнала s t и строим временную диаграмму дискретного сигнала (рисунок

2.13).

Рисунок 2.13 – Вектор дискретных отсчетов и временная диаграмма дискретного сигнала

6) по формуле (2.4) определяем функции k t , составляющие базис Котельникова при восстановлении исходного непрерывного сигнала s t по набору его дискретных отсчетов s k tд (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 – Определение функций k t , составляющих базис Котельникова при восстановлении исходного непрерывного сигнала s t по набору его

дискретных отсчетов s k tд

15

Теория электрических и радиотехнических цепей

7) определяем три слагаемых, стоящих под знаком суммы в правой части формулы (2.5): произведение k-го дискретного отсчета s k tд на k-ю базисную функцию k t (k = 0, 1, 2) и результат их суммирования (рисунок 2.15).

Рисунок 2.15 – Определение несколько первых слагаемых, стоящих под знаком суммы в правой части формулы (2.5) и результата их суммирования

8) по формуле (2.5) определяем функцию sε t , представляющую результат восстановления исходного непрерывного сигнала s t по трем его дискретным отсчетам s k tд , строим его график и график исходного непрерывного сигнала s t (рисунок 2.16).

Рисунок 2.16 – Графики функции sε t , представляющей результат восстановления исходного непрерывного сигнала s t по трем его дискретным отсчетамs k tд , и исходного непрерывного сигнала s t

16

Теория электрических и радиотехнических цепей

6) строим график функции sε t s t , т. е. погрешности восстановления исходного непрерывного сигнала s t по трем его дискретным отсчетам

s k tд (рисунок 2.17).

Рисунок 2.17 – График функции sε t s t

7) по формулам (2. 7) и (2. 8) определяем расстояние и квадрат расстояния между сигналами sε t и s t (рисунок 2.18).

Рисунок 2.18 – Определение расстояния и квадрата расстояния между сигналами

sε t и s t

8) по формулам (2.4) и (2.6) определяем норму и квадрат нормы сигнала s t (рисунок 2.19).

Рисунок 2.19 – Определение нормы и квадрата нормы сигнала s t

9) выражаем в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t

квадрат расстояния между сигналами sε t и s t (рисунок 2.20).

17

Теория электрических и радиотехнических цепей

Рисунок 2.20 – Выражаем в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t квадрат расстояния между сигналами sε t и s t

Делаем вывод о том, что если верхняя эффективная граничная частота спектра сигнала s t fB = 1 кГц, а период дискретизации этого сигнала, найденный в соответствии с теоремой Котельникова, составляет tд= 0,5 мс, то квадрат рас-

стояния между сигналами sε t и s t составляет 41,824% относительно квадрата нормы сигнала s t .

Исследуем, как изменение верхней эффективной граничной частоты спектра fВ, Гц, сигнала s t на квадрат расстояния между сигналами sε t и s t , выра-

женный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t . Для это-

го:

10) вновь определим верхнюю эффективную граничную частоту спектра fВ сигнала s t на основе энергетического подхода, полагая теперь уже коэффици-

ент уменьшения энергии сигнала по причине искусственного ограничения ширины его спектра k равным 0,95:

- зададимся начальным приближением параметра fB = 2 кГц (fb:= 2);

- запишем в блоке Given уравнение относительно искомой граничной частоты спектра fb, полагая коэффициент уменьшения энергии сигнала по причине искусственного ограничения ширины его спектра диапазоном от –fb до fb, равным 0,95 (рисунок 2.21). Приходим к выводу, что первые два лепестка спектральной функции содержит 95% энергии прямоугольного импульса (рисунок 2.22);

11) в соответствии с теоремой Котельникова, вычисляем по формуле (2.2) новую частоту дискретизации fД, кГц, и период дискретизации tд, мс, сигнала

s t (рисунок 2.23).

18

Теория электрических и радиотехнических цепей

Рисунок 2.21 – Повторное определение граничной частоты спектра сигнала s t

Рисунок 2.22 – Вновь найденные граничные частоты спектра прямоугольного импульса

Рисунок 2.23 – Вычисление новой частоты дискретизации и периода дискретизации сигнала s t

Как видно из расчетов, приведенных на рисунке 2.23, новая частота дискретизации fД сигнала s t , удовлетворяющая теореме Котельникова, составляет

4,146 кГц, а период дискретизации tд соответственно равен 0,241 мс;

12) по формуле (2.6) определяем новое количество отсчетов дискретного сигнала (рисунок 2.24).

Рисунок 2.24 – Определение нового количества отсчетов дискретного сигнала

19

Теория электрических и радиотехнических цепей

13) формируем вектор дискретных отсчетов s k tд (k = 0, 1, 2, ... , 4) не-

прерывного сигнала s t и строим временную диаграмму дискретного сигнала

(рисунок 2.25).

Рисунок 2.25 – Вектор дискретных отсчетов и временная диаграмма дискретного сигнала

14) по формуле (2.4) определяем функции k t , составляющие базис Котельникова при восстановлении исходного непрерывного сигнала s t по набору его пяти дискретных отсчетов s k tд (рисунок 2.26).

Рисунок 2.26 – Определение функций k t , составляющих базис Котельникова при восстановлении исходного непрерывного сигнала s t по набору его пяти дискретных отсчетов s k tд

20