LR2 ММТС

Математические методы теории сигналов

нов ряда Фурье дает наклонный участок. В самой точке разрыва (в момент времени t = 0) ряд Фурье сходится к полусумме правого и левого пределов:

x t0		1		lim	s t	lim			1	0	1 0,5 .
		2					s t		2
			t t0 0			t t0 0

Здесь s(t) – исходный сигнал, sN (t) – сумма усеченного ряда Фурье для не-

го.

На примыкающих к разрыву участках сумма усеченного ряда Фурье дает заметные пульсации. Это явление, присущее рядам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками), как отмечалось ранее, называется эффектом Гиббса. В ряде работ, например, показано, что амплитуда первого (самого большого) выброса составляет примерно 9 % от величины скачка. Убедимся в этом самостоятельно и определим момент времени tm, с, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN t принимает первое после момента времени t = 0 максимальное значение (рисунок 2.18).

Рисунок 2.18 – Момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN t принимает максимальное значение

Примечание – На рисунке 2.18 реализовано два способа определения момента времени tm:

21

Математические методы теории сигналов

-первый способ основан на использовании окна трассировки графика «X-

Y Trace»;

-второй способ основан на использовании встроенной в Mathcad функции Maximize(f, var1), которая возвращает значение переменной var1 при котором функция f(var1) принимает максимальное значение. Для того, чтобы исключить

неоднозначность определения параметра tm (на рисунке 2.18 у функции sN t имеется несколько максимумов) перед обращением к функции Maximize(f, var1) задано начальное приближение этого параметра t:= 0, т. е. поиск параметра tm производится в начале системы координат при t равном нулю.

15. Вычисляем максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса (рисунок 2.19).

Рисунок 2.19 – Максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса

16. Определяем максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала %, обусловленное наличием эффекта Гиббса, выраженное в процентах (рисунок 2.20).

Рисунок 2.20 – Максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса, выраженное в процентах

Как видно из рисунка 2.20, в рассматриваемом примере, вследствие эффекта Гиббса амплитуда первого (самого большого) выброса составляет примерно 12 % от величины скачка.

17. Исследуем, как повлияет на параметры эффекта Гиббса, изменение количества гармоник спектра сигнала. Увеличим количество гармоник в два и три раза (N = 20 и N = 30). Результат восстановления сигнала и Параметры эффекта Гиббса показаны на рисунках 2.21 и 2.22.

22

Математические методы теории сигналов

Рисунок 2.21 – Параметры эффекта Гиббса при числе гармоник N = 20

Рисунок 2.22 – Параметры эффекта Гиббса при числе гармоник N = 30

Анализ графика и данных, представленных на рисунках 2.21 и 2.22, свидетельствует о том, что при увеличении количество гармоник в два и три раза (т. е. с 10 до 20 и 30) количество пульсаций восстановленного сигнала тоже удвоилось (утроилось), а амплитуда первого (самого большого) выброса составляет примерно 10 % от величины скачка, то есть, практически, не изменилась. Таким образом, исследованный детерминированный, периодический сигнал – периодическая последовательность прямоугольных импульсов (рисунок 2.3) может быть задан

23

Математические методы теории сигналов

функцией s(t) (временной подход) или представлен в виде линейчатого спектра амплитуд и фаз гармоник в базисе Фурье (рисунки 2.11 и 2.12) (спектральный подход).

Примечание – В ходе исследования влияния изменение количества гармоник спектра Фурье сигнала на параметры эффекта Гиббса одновременно были исследованы и другие параметры (таблица 2.2).

Из анализа данных, приведенных в таблице 2.2 можно сделать выводы о степени влияния изменение количества гармоник спектра Фурье сигнала на качество восстановления по усеченному ряду Фурье сигнала sN t , выполнение нера-

венства Парсеваля и параметры эффекта Гиббса сигнала sN t .

24

Математические методы теории сигналов

Таблица 2.2 – Результаты исследования спектрального анализа и синтеза периодического сигнала

N,	Графики восстановленного по усеченному ряду	Квадрат расстоя-		Сумма мощностей	Параметры эффекта
ед.	Фурье сигнала sN t и исходного сигнал s t , за-	ния между	сигна-	постоянной со-	Гиббса
	данного в пределах одного периода	лами sN t	и s t	ставляющей и	tm, с	%
		за период колеба-		гармоник спектра
		ний T, %		Фурье, В2
1	2	3		4	5	6
5		9,720		0,181	0,1	17,223
10		5,009		0,190	0,05	11,917
						25

		Математические методы теории сигналов
	Продолжение таблицы 2.2
1	2		3	4	5	6
15			3,389	0,193	0,033	10,73
20			2,526	0,195	0,025	10,218
30			1,688	0,197	0,017	9,764

26

		Математические методы теории сигналов
	Окончание таблицы 2.2
1	2		3	4	5	6
40			1,265	0,197	0,012	9,557
50			1,013	0,198	0,009	9,441

27

Математические методы теории сигналов

Порядок выполнения работы:

1.Запустите Mathcad.

2.Определите в программе Mathcad для заданного периодического сигнала

s t в соответствии с вариантом индивидуального задания (таблица 2.3):

-1 – основную круговую частоту периодического сигнала (частоту пер-

вой гармоники), рад/с;

-ak – коэффициент k-й «косинусной» составляющей спектра Фурье пе-

риодического сигнала, В;

-bk – коэффициент k-й «синусной» составляющей спектра Фурье перио-

дического сигнала, В;

-a0 2 – постоянную составляющую спектра Фурье периодического сиг-

нала, В;

- Ak – амплитуду k-й гармоники спектра Фурье периодического сигнала,

В;

-k – начальную фазу k-й гармоники спектра Фурье периодического сиг-

нала, радианы или градусы;

-амплитудную и фазовую спектральные диаграммы периодического сигнала (построить линейчатые спектра);

-восстановленный по усеченному ряду Фурье сигнал sN t являющийся

приближенным изображением сигнала s t ;

- расстояние и квадрат расстояния между сигналами sN t и s t за период колебаний T, выраженный в процентной мере относительно квадрата нормы сигнала s t ;

-среднюю мощность сигнала s(t) за период колебаний T;

-сумму мощностей постоянной составляющей и гармоник спектра Фурье

ипроверитьвыполнение неравенства Парсеваля;

-tm – момент времени, когда восстановленный по усеченному ряду Фурье

сигнал sN t принимает максимальное значение (исследование эффекта Гиббса);

28

Математические методы теории сигналов

-– максимальное значение абсолютной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

-% – максимальное значение относительной ошибки восстановления сигнала, обусловленное наличием эффекта Гиббса;

3. Исследуйте влияние изменения количества гармоник спектра Фурье

сигнала на качество восстановления по усеченному ряду Фурье сигнала sN t ,

выполнение неравенства Парсеваля и параметры эффекта Гиббса сигнала sN t .

Результаты исследования оформите, например, в виде таблицы 2.2.

4.Сохраните результаты спектрального анализа и синтеза заданного периодического сигнала.

5.Сформируйте отчет по лабораторной работе (представляется в электронном формате).

6.Защитите работу.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Номер варианта соответствует номеру фамилии студента в списке учебной группы (подгруппы).

Таблица 2.3 – Варианты исследуемых сигналов
		T, с
Вариант	Тип сигнала
1	2	3

1	20·10–3

29

Математические методы теории сигналов

Продолжение таблицы 2.3

1

2

3

4

5

6

7

2

3

10·10–3

15·10–3

4·10–3

2·10–3

20·10–3

10·10–3

30