КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СОПРОМАТУ

14 УДАРНАЯ НАГРУЗКА

Цель расчетов на ударную нагрузку – определение наибольших деформаций и напряжений, возникающих в результате удара.

14.1 Осевой удар

Рассмотрим 2 случая действия груза на некоторую упругую систему.

1 случай. К стержню длиной l статически приложен груз силой тяжести F. Нагрузка в этом случае медленно изменяется от 0 до F и в результате сжимает стержень на ст.

2 случай. Груз силой тяжести F падает с высоты Н на такой же стержень и сжимает его на д.

Отношение деформации, вызванной динамическим действием нагрузки к

деформации, вызванной статическим действием, есть коэффициент деформации

д	д		или д д ст ,	(14.1)
		ст
откуда, следуя закону Гука, д д ст				(14.2)

F

где ст A .

Чтобы пользоваться формулами (14.1) и (14.2), необходимо знать значение д, для этого проведем некоторые исследования.

Работа силы тяжести падающего груза F равна T = F (H + д). Потенциальная энергия деформации, вызванной совершённой работой

равна по теореме Клапейрона половине произведения динамически дейст-

вующей силы F на соответствующее перемещение : U		д		Fд д	(14.3)
д	д		2
По закону сохранения энергии, принимая допущение, что потери энер-
гии не происходит,	T = Uд.		(14.4)
	111

Для статической системы ст

F

,

(14.5)

c

Fд

для линейно-деформируемой системы

или F

с ,

(14.6)

EA

д

c

д

д

где

с

- жесткость стержня.

l

Подставляя уравнение (14.6) в (14.3), получим Uд

с д2

, а из равенст-

2

ва (14.6) имеем F H д

с д2

, откуда, разделим все члены уравнения на

c

F

F

2

,

получим 2H

2 д

д2 , а с учетом уравнения (514.)

2

c

c

д2 2 ст д ст H 0 .

Решением полученного квадратного уравнения является

д ст

ст2

2 ст2 Н

(14.7)

Знак «-» перед радикалом отброшен, так как он дает отрицательное зна-

чение д, что невозможно.

2H

Уравнение (14.7) представим в виде

д

1

1

. (14.8)

ст

ст

Сравнив уравнения (14.1) и (14.8), окончательно получим

kд

1 1

2H

(14.9)

ст

Если H ст

, тоkд

2H

.

ст

Уравнение (14.9) можно выразить через V - скорость груза в момент

2H

V

2

kд 1 1

V

2

удара: так как V

2gH , то

, и тогда

.

g ст

g

Коэффициент

динамичности

можно

виде

также

представить

kд

1 1

To

,

Uст

где To=F·H – кинетическая энергия груза в момент удара,

Uст F ст - потенциальная энергия деформации при статическом дей- 2

ствии груза.

112

Следует отметить, что в приведенных формулах не учтена масса деформируемой системы, при этом ошибка в расчетах практически не превышает

10%.

Для учета массы стержня, испытывающего удар, определение коэффициента динамичности следует производить по формуле

kд 1 1		2H					,
		ст 1
			3

где γ – это отношение массы стержня к массе груза mc Fc . m F

Теперь, вычислив значение коэффициента динамичности, по формулам (14.1) и (14.2) можно найти деформации и напряжения, возникающие в стержне в момент удара.

2H

F

2H EA

F

2H E F

Например д д ст

.

A

Fl

A

l A

ст

Из данного уравнения можно сделать выводы:

1.При Н=0 kд=2, т.е. при внезапном приложении нагрузки деформации системы и напряжения в ней вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки.

2.Величина динамических напряжений зависит не только от силы F

иплощади поперечного сечения стержня A, но и от длины стержня l и модуля упругости материала E.

Рассмотрим эту зависимость на конкретном примере.

Сравним максимальные напряжения, возникающие в трех разных стержнях при ударе грузом F, падающем с высоты H.

113

Пусть	A2		,	l1	.
	A1
				l
Опуская расчет, получим следующее соотношение
да : дб : дв			1				:1:		1		, а при конкретных значениях α=0,5 и
			2(1 )

β=0,4, получим соотношение напряжений 1,7:1:1.4, то есть наибольшие напряжения возникают в стержне с выточкой.

Условие прочности при ударе имеет вид дmax [ ]д ,

где [ ]д т , nд

nд – коэффициент запаса прочности при ударе (обычно nд = 2).

14.2 Изгибающий удар

Формула коэффициента динамичности и зависимости динамических напряжений и деформаций при изгибе аналогичны осевому удару.

	д д ст ,	д д ст ,	kд	1 1	2H
					ст

где ст - статический прогиб сечения балки в момент удара.

Рассмотрим частный случай изгибающего удара. Требуется определить максимальные напряжения в балке прямоугольного сечения при ударе.

1 случай: удар посредине	2 случай: удар на конце жестко
балки длиной l, шарнирно закреп-	заделанной консоли длиной l.
ленной по концам.

Приложим груз статически и определим статические прогиб и напряжения:

Приложим груз статически и определим статические прогиб и напряжения:

114

ст

Fl3

, max

Fl

.

ст

Fl3

,

max

Fl

.

48ЕIX

4WX

3ЕIX

WX

Коэффициент динамичности

Коэффициент

динамичности

найдем по приближенной форму-

найдем по приближенной формуле

ле

kд

2H

6HEIX

2H

96HEIX

kд

.

ст

Fl3

ст

Fl3

Определим

максимальное

Определим

максимальное на-

напряжение

при

ударе

пряжение при ударе

д kд ст

Fl

д kд ст

6HEIX

18HEF

Fl3

WX

lA

96HEIX

Fl

18HEF

.

Fl3

4WX

lA

Таким образом, если в статике во 2-м случае максимальные напряжения были в 4 раза больше, чем в 1-м, то при ударе напряжения оказались одинаковыми. Следовательно, гибкая конструкция при ударной нагрузке является более предпочтительной, чем жесткая.

14.3 Крутящий удар

Формула определения касательных напряжений при кручении аналогичны формулам для нормальных напряжений при изгибе:

д д ст ,	kд	1 1	2H	.
			ст

115

Определим наибольшие напряжения, возникающие на валу длиной l и диаметром d, испытывающим ударную нагрузку вследствие падения груза силой тяжести F с высоты H на конец кривошипа длиной R.

Считая кривошип абсолютно жестким ст R .

Так как

M

к

l

Mк FR , получим ст R

FR2l

.

, а

GIp

GIp

2HGIp

Тогда, по приближенной формуле kд

2H

, а максималь-

ст

FR

2l

2HGIp

FR

ное напряжение

max

kд

max

HGdF

.

д

ст

FR2l

Wp

lWp

Как видим из полученного уравнения, напряжение при ударе не зависит от длины кривошипа, которая с одной стороны увеличивает крутящий момент, а с другой стороны, уменьшает коэффициент динамичности.

В случае внезапного приложения груза при Н=0 kд=2, как и в случае осевого удара.

Рассмотрим частный случай крутящего удара – торможение быстровращающегося вала с маховиком.

	Потенциальная								энергия деформации стержня при скручивании
	1						M 2	l
Uд			M	д	д		д		(14.10)
	2
							2GIp

где Мд – динамический крутящий момент, φд – угол закручивания вала.

Значение динамического момента Мд найдем из уравнения дmax Mд :

Wp

M	д	max	Wp		max d		3	(14.11)
		д			д	16

116

Подставляя

уравнение

(14.11)

в

(14.10),

получим

Uд

дmax 2

2d6l

дmax 2 Al

.

512GIp

4G

Считая, что вся кинетическая энергия маховика Т0

переходит в потенци-

альную энергию деформации, то есть U = Т , найдем

max

2

T0 G

,

д

0

lA

где

T

J

2

- кинетическая энергия маховика в форме диска;

0

2

J

FD2

- полярный момент инерции массы маховика (диска).

8g

117

14.4Ударная вязкость

Отношение работы, затраченной на разрушение образца, к площади его поперечного сечения в месте надреза, называется ударной вязкостью мате-

риала:ak		U		F h	.
		A
				A

Ударную вязкости вычисляют посредством испытаний на маятниковых копрах с целью определения способности материала сопротивляться ударным нагрузкам.

Величина работы U определяется по разности высот маятника до и после удара.

Ориентировочные значения ударной вязкости для сталей

ak (8...10) 105 Дж .

м2

118

15НАПРЯЖЕНИЯ, ПЕРЕМЕННЫЕ ПО ВРЕМЕНИ

15.1Явление усталости. Разновидности циклов напряжений

Вмашинах многие детали испытывают напряжения, постоянно меняющиеся как по величине, так и по знаку. В результате таких напряжений в деталях машин появляются постоянно увеличивающиеся микротрещины.

Явление разрушения материала под действием повторно-переменных напряжений называется

усталостью.

Способность материала сопротивляться разрушению называется выносливостью.

Повторно-переменные напряжения могут возникать, например, во вращающихся валах.

В произвольной точке сечения вала возникают переменные по времени нормальные и касательные напряжения.

Совокупность напряжений, возникающих за время одного периода Т, называется циклом напряжений.

119

В общем виде график периодически изменяющихся напряжений имеет

вид

и характеризуется следующими параметрами:max – наибольшее напряжение цикла;min – наименьшее напряжение цикла;

m			max min		- среднее напряжение цикла;	(15.1)
	2
a		max min			- амплитуда цикла.	(15.2)
	2

Из графика видно, что max= m + a и min= m - a.

Отношение наименьшего напряжения цикла к наибольшему напряже-

	нию есть коэффициент асимметрии цикла:					r	min		.	(15.3)
	Отношение амплитуды цикла к среднему					max
						напряжению цикла называют
	характеристикой цикла:		a		.					(15.4)
			m

Между коэффициентом асимметрии и характеристикой цикла сущест-

вует соотношение 1 r . 1 r

Различают симметричные и асимметричные циклы. Наиболее опасным является симметричный цикл (r=-1).

Наибольшие напряжения в симметричном цикле обозначают через σ-

1=σmax=|σmin|.

Все формулы и обозначения аналогичны для касательных напряжений

τ.

Ниже представлены различные варианты циклов напряжений:

120