§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности

Таблицы смертности. Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необ­ходимы исходные данные, характеризующие совокупность за­страхованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические за-

ззз

кономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables).

Таблица смертности представляет собой числовую модель про­цесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокуп­ности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста со. Она является обобще­нием данных демографической статистики за некоторый пери­од времени.

В России таблицы смертности разрабатываются статистиче­скими органами для страны в целом, а также для крупных эконо­мических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола¹.

Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики — множество нижних и верхних индексов, ко­торые приписываются как справа, так и слева от основной пе­ременной. Например, л , je^i и т.д.

Основной показатель таблицы смертности — число людей 1_Х в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности /₀, обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таб­лице могут быть любыми — выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для акту­арных расчетов применяют полные таблицы смертности, в ко­торых возраст показан с интервалом в 1 год.

Величины 1_Х (кроме /₀) определяются расчетным путем на ос­нове заданных вероятностей смерти (q_x), или, что реже, коли­чества умерших (d_x). В современных таблицах смертности ис­ходным показателем обычно служит вероятность смерти, т.е до­ля умерших в возрасте от х до jc -I- 1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе дан­ных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием.

¹ Подробные методики разработки таблиц смертности, включая приемы вы­равнивания данных, рассматриваются в курсах демографии. Некоторые перво­начальные сведения по данной проблеме можно получить в "Статистическом словаре". М.: Финансы и статистика, 1989.

334

Помимо показателей 1_Х таблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (d_x). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются.

В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смерт­ности для мужчин, в которой начальный возраст — 18 лет¹.

Таблица 16.1 Фрагмент таблицы смертности

лс	'/	Ь	*:
19 20	100 000 99 851 99 678	0,00149 0,00173 0,00196	149 173 195
30	96 991	0,00381	370
35	94 951	0,00487	462
40	92 327	0,00708	654
50	83 640	0,01409	1178
60	68 505	0,02871	1967
70	45 654	0,05691	2598
80	19 760	0,11672	2306

* Округлено до целых чисел.

Показанные в таблице величины 1_Х и d_x сами по себе не име­ют смысла. Они приобретают его лишь при сравнении в рамках таблицы смертности.

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соот­ношениями²:

¹ Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12). Показатели таб­ лицы получены на основе вероятностей q_x из таблицы смертности населения СССР за 1984—1985 гг. (журнал "Вестник статистики''. 1987, JSfe 3).

² В таблицах, непосредственно применяемых в страховых расчетах, значе­ ния 1_Х и d_x для повышения точности расчетов, особенно в старших возрастах, не округляют до целых чисел.

335

'х+1 'х "х> "х 'х ^х Ч_х\ Ч_х = 1 - Рх = 1 -

Таблица смертности, фрагмент которой приведен выше, яв­ляется минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования — страхования на до­житие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и ме­дицинском страховании применяют таблицы выбытия (decre­ment tables), в которых помимо смертности учитываются и дру­гие причины сокращения числа участников страхования.

Страховые вероятности. На основе данных таблицы смертно­сти нетрудно получить систему вероятностей дожития, необхо­димую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.

Вероятность прожить от возраста х до х + п:

пРх = ^Т- 06.1)

Вероятность прожить еще один год после возраста х лет:

d_x (c+i

'х 1_Х '

Рх = ^, ~ Чх = ^! - "Т =

ПРИМЕР 16.1. Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить еще 10 лет составит¹:

/до 92 327 «лРол = — - ***** = 0,95191. ¹°^Рз° /до 96 991 ^u'*⁰¹*'-

По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность уме­реть в возрасте от jc до х + п: