ТВиМС лекция№1
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Лекции по курсу высшей математики для студентов дневного отделения Часть 1. Основы теории вероятностей
Володин Юрий Владимирович
к.ф.-м.н., доцент кафедры математики и информатики РГСУ
Февраль 2012 г.
Литература
Жукова Г.С.
Математика для стдудентов социальных и социально-гуманитарных специальностей. Ì.: ÐÃÑÓ, 2010.
Жукова Г.С.
Математика для студентов экономических специальностей. Часть II.
Ì.: ÐÃÑÓ, 2010.
Рушайло М.Ф.
Теория вероятностей и математическая статистика. Ì.: ÐÃÑÓ, 2010.
Элементы комбинаторики
Комбинаторика раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств из элементов различной природы.
Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств различны. Мы будем изучать комбинации этих элементов различающихся количеством и/или порядком . Например, из тр¼х букв A, B, C будем составлять двухбуквенные слова:
1.не учитывая порядок букв, получим AB, AC и BC;
2.учитывая порядок букв, получим AB, BA, AC, CA, BC, CB;
3.учитывая порядок и допуская повторения, получим AA, AB, BA, BB, BC, CB, CC, AC, CA.
Правила подсч¼та
Правило суммы.
Если объект A может быть выбран из некоторой совокупности объектов m способами, а объект B n способами, то выбрать A èëè B можно m + n способами.
Например: в коробке 3 тв¼рдых карандаши и 2 мягких, всего 5 вариантов выбора карандаша.
Правило произведения.
Если объект A может быть выбран из некоторой совокупности объектов m способами, а затем объект B может быть независимо выбран n способами, то выбрать пару объектов A è B можно m n способами.
Например: добраться из города М в город П можно 3 способами, а из города П доехать до пос¼лка С есть 2 возможных способа. Следовательно, из М в С можно оказаться 6 способами.
Комбинации
Перестановками
называются комбинации, отличающиеся лишь порядком, не составом входящих элементов.
Для n различных элементов число перестановок
Pn = n! = 1 2 3 n:
Для пустого множества с числом элементов n = 0 принято
считать |
число перестановокP |
= 1, ò.å. 0! = 1. |
|
0 |
|
Например: число перестановок 3 книг на полке равно
P3 = 3! = 1 2 3 = 6:
Сочетаниями
из n по k различных элементов называются комбинации, отличающиеся лишь составом входящих элементов.
Число различных сочетаний из n по k элементов обозначают Cnk . Èòàê, Cnk число способов, которыми можно выбрать из n группу
в k элементов (порядок выбора безразличен).
|
|
|
|
k øòóê |
|
||
|
k!(n k)! |
|
z |
|
}| |
|
{ |
|
|
|
|||||
Cnk = |
n! |
èëè Cnk = |
n(n 1) (n k + 1) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k! |
|
Например: число назначений на три одинаковые должности из 5 кандидатов находится
C53 = |
5 4 3 |
= |
5 4 3 |
= |
60 |
= 10: |
||
3! |
1 2 3 |
|
6 |
|||||
|
|
|
|
Размещениями
из n по k различных элементов называются комбинации,
отличающиеся не только составом, но и порядком выбираемых элементов.
Число размещений из возможных n элементов в подгруппу из k элементов, обозначается Akn и находится по формулам
|
|
|
|
|
|
|
|
k øòóê |
|
|
|
||
n |
|
(n k)! |
n = z |
|
|
|
|
}| |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ak |
= |
n! |
èëè Ak |
n(n |
|
1) |
|
(n |
|
k + 1) |
|||
|
|
|
Например: число назначений на три различные должности, если имеется выбор из 5 кандидатов равно
A35 = 5 4 3 = 60:
Размещения с повторениями
такие комбинации, где допускается повторение элементов в наборе.
Число размещений с повторениями из n элементов в подгруппу из
k
k элементов, обозначается An и находится по формуле
k |
k |
: |
An = n n n = n |
Например: сколько вариантов для дней рождения 3 человек?
3 |
= 365 |
3 |
= 48627125: |
A365 |
|
Примеры
Пример 1
Найти число диагоналей в правильном n-угольнике.
Cn2 n
Например, в квадрате получим C42 4 = 42!3 4 = 122 4 = 2 диагонали.
Пример 2
Сколько можно составить всевозможных 7мизначных телефонных номеров?
Номера имеют вид XXX-XX-XX.
7 |
= 10 10 10 10 10 10 10 = 10 |
7 |
: |
A10 |
|
Свойства сочетаний
1.Cn0 = Cnn = 1
2.Cn1 = Cnn 1 = n
3.Cnk = Cnn k
4.Cnk = Cnk 11 + Cnk 1
5.Cn0 + Cn1 + Cn2 + : : : + Cnn = 2n
Например, C50 = 1, C43 = 4, C42 = C31 + C32 = 3 + 3 = 6.
Основные понятия теории вероятностей
называется раздел математики, изучающий закономерности в массовых случайных событиях. Испытанием называется реализация определ¼нного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз (подбр. монеты). Результатом испытания является
События принято обозначать большими латинскими буквами A, B, C,. . .
Событие может быть:
1. достоверным (событие, которое обязательно произойд¼т, E);
2. невозможным (заведомо непроисходящее событие, E);
3. случаным (может произойти, либо не произойти). Например, подбрасывание кубика. События:
fвста¼т на реброg fвыпадает два очкаg.
E = , A =
Несколько событий в данном опыте образуют |
полную гр |
||
в результате испытания должно появиться хотя бы одно из них. |
|||
События называются |
несовместными |
в данном испытании, е |
|
появление одного из них исключает появление другого. В |
|||
противном случае события называются |
совместными |
||
События называются |
независимыми |
, если появление одного |
|
них не влияет на появление другого. В противном случае события |
|||
называются |
зависимыми |
. |
|
События называются |
равновозможными |
, если объективная |
|
возможность их появления одинакова. |
|
||
Если дано событие A, то можно рассмотреть |
противоположное |
||
åìó |
|
|
|
A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.
Несколько событий в данном опыте образуют |
полную гр |
||
в результате испытания должно появиться хотя бы одно из них. |
|||
События называются |
несовместными |
в данном испытании, е |
|
появление одного из них исключает появление другого. В |
|||
противном случае события называются |
совместными |
||
События называются |
независимыми |
, если появление одного |
|
них не влияет на появление другого. В противном случае события |
|||
называются |
зависимыми |
. |
|
События называются |
равновозможными |
, если объективная |
|
возможность их появления одинакова. |
|
||
Если дано событие A, то можно рассмотреть |
противоположное |
||
åìó |
|
|
|
A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.
Несколько событий в данном опыте образуют |
полную гр |
||
в результате испытания должно появиться хотя бы одно из них. |
|||
События называются |
несовместными |
в данном испытании, е |
|
появление одного из них исключает появление другого. В |
|||
противном случае события называются |
совместными |
||
События называются |
независимыми |
, если появление одного |
|
них не влияет на появление другого. В противном случае события |
|||
называются |
зависимыми |
. |
|
События называются |
равновозможными |
, если объективная |
|
возможность их появления одинакова. |
|
||
Если дано событие A, то можно рассмотреть |
противоположное |
||
åìó |
|
|
|
A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.
Несколько событий в данном опыте образуют |
полную гр |
||
в результате испытания должно появиться хотя бы одно из них. |
|||
События называются |
несовместными |
в данном испытании, е |
|
появление одного из них исключает появление другого. В |
|||
противном случае события называются |
совместными |
||
События называются |
независимыми |
, если появление одного |
|
них не влияет на появление другого. В противном случае события |
|||
называются |
зависимыми |
. |
|
События называются |
равновозможными |
, если объективная |
|
возможность их появления одинакова. |
|
||
Если дано событие A, то можно рассмотреть |
противоположное |
||
åìó |
|
|
|
A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.
Несколько событий в данном опыте образуют |
полную гр |
||
в результате испытания должно появиться хотя бы одно из них. |
|||
События называются |
несовместными |
в данном испытании, е |
|
появление одного из них исключает появление другого. В |
|||
противном случае события называются |
совместными |
||
События называются |
независимыми |
, если появление одного |
|
них не влияет на появление другого. В противном случае события |
|||
называются |
зависимыми |
. |
|
События называются |
равновозможными |
, если объективная |
|
возможность их появления одинакова. |
|
||
Если дано событие A, то можно рассмотреть |
противоположное |
||
åìó |
|
|
|
A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.
Классическое определение вероятности
Пример
Бросают игральный кубик, выигрышем считается выпадение 5 или 6 очков. Сколько примерно будет выигрышей в серии из 150 игр?
Вероятностью
события A называется число, обозначаемое P(A) и вычисляемое
по формуле |
m |
|
|
P(A) = |
; |
||
n |
|||
|
|
где n число всех возможных элементарных исходов в испытании, а m число тех из них, которые благоприятствуют наступлению события A.
Так как всегда m 6 n, то 0 6 P(A) 6 1.
Классическое определение вероятности
Пример
Бросают игральный кубик, выигрышем считается выпадение 5 или 6 очков. Сколько примерно будет выигрышей в серии из 150 игр?
Вероятностью
события A называется число, обозначаемое P(A) и вычисляемое
по формуле |
m |
|
|
P(A) = |
; |
||
n |
|||
|
|
где n число всех возможных элементарных исходов в испытании, а m число тех из них, которые благоприятствуют наступлению события A.
Так как всегда m 6 n, то 0 6 P(A) 6 1.
Классическое определение вероятности
Пример
Бросают игральный кубик, выигрышем считается выпадение 5 или 6 очков. Сколько примерно будет выигрышей в серии из 150 игр?
Вероятностью
события A называется число, обозначаемое P(A) и вычисляемое
по формуле |
m |
|
|
P(A) = |
; |
||
n |
|||
|
|
где n число всех возможных элементарных исходов в испытании, а m число тех из них, которые благоприятствуют наступлению события A.
Так как всегда m 6 n, то 0 6 P(A) 6 1.
Пример 1
В лифт 9-этажного дома вошли 5 незнакомых человек. Найти вероятность того, что они выйдут на разных этажах.
A = fлюди выйдут на разных этажахg;
P(A) = mn ;
ãäå n = 8 8 |
8 8 8 = 85 всего вариантов, |
||||||
m = A85 = 8 |
7 6 5 4 благоприятные комбинации, |
||||||
|
|
A5 |
6720 |
105 |
|||
|
P(A) = |
8 |
= |
|
= |
|
0; 21: |
|
85 |
32768 |
512 |