2.1.4. Гідравлічний радіус і еквівалентний діаметр

Це основні розрахункові лінійні розміри. Гідравлічний радіус R (м) - це відношення площі затопленого перерізу трубопроводу або каналу (S, м²) до змоченого периметру (П, м).

. (2.5)

Для круглої труби

. (2.6)

Діаметр, виражений через гідравлічний радіус, називається еквівалентним діаметром (d_e).

Для круглої труби

. (2.7)

Порівнявши (2.6) з (2.7), отримуємо:

. (2.8)

Таблиця 15

Розрахункові формули для визначення еквівалентного діаметру перерізу (заштрихованого простору)

Переріз	Формула	Переріз	Формула	Переріз	Формула
			де n – кількість отворів

2.1.5. Режими руху рідини

Режими руху рідини можна прослідкувати, якщо вводити у потік підфарбовану струминку рідини. Для кількісної характеристики руху рідини використовують критерії Рейнольдса

, (2.9)

де  - динамічний коефіцієнт в’язкості, Пас;  - кінематичний коефіцієнт в’язкості, м²/с.

Критерій Рейнольдса - це безрозмірний критерій гідродинамічної подібності потоків, що протікають по трубах і каналах. Він є мірою відношення сил інерції і внутрішнього тертя в потоці. Для потоків рідин, що проходять по прямих гладких трубах, критерій Рейнольдса має такі значення:

ламінарний потік: Re < 2300 (Re_кр =2300);

перехідний: 2300 < Re < 10000;

турбулентний: Re > 10000.

2.2. Рівняння нерозривності (суцільності) потоку

Встановимо загальну залежність між швидкостями в потоці рідини, для якої дотримується умова суцільності, або нерозривності руху, тобто не утворюється пусток, не заповнених рідиною.

Виділимо усередині потоку елементарний паралелепіпед об'ємом dV = dxdxdz, ребра якого орієнтовані паралельно осям координат (рис.16).

Рис. 16. До виведення диференціального рівняння нерозривності потоку.

Припустимо, що складова швидкості потоку уздовж осі х в точках, що лежать на лівій грані паралелепіпеда площею dS = dydz, дорівнює ω_x. Тоді, згідно рівнянню (2.2), через цю грань в паралелепіпед увійде уздовж осі х за одиницю часу маса рідини ρω_xdydz, а за проміжок часу dτ – маса рідини

G_x = ρω_xdydzdτ, (2.10)

де ρ – густина рідини на лівій граніпаралелепіпеда.

На протилежній (правої) грані паралелепіпедашвидкість і густина рідини можуть відрізнятися від відповідних величинна лівій грані і будуть дорівнювати і .Тоді через праву грань паралелепіпеда за той самий час dτ вийде маса рідини

. (2.11)

Прирощення маси рідини в паралелепіпеді уздовж осі х:

. (2.12)

Якщо складові швидкості уздовж осей у і z дорівнюють ω_y і ω_zвідповідно, то прирощеннямаси в елементарному об'ємі уздовж цих осей аналогічно складуть:

і .

Загальне накопичення маси рідини в паралелепіпеді за час dτ дорівнює сумі її прирощеньуздовж усіх осей координат:

. (2.13)

Разом з тим зміна маси у повністю заповненому рідиноюоб'ємі паралелепіпеда можлива тільки внаслідок змінигустини рідини в цьому об'ємі. Тому

.

Прирівнюючи (2.13) і (2.14), скорочуючи на (– dxdxdz) і переносячи в ліву частину рівняння, остаточно одержимо

. (2.14)

Рівняння (2.14) є диференціальним рівняннямнерозривності потоку для несталого руху рідини, що стискається.

Рівняння (2.14) може бути записане і в дещо іншій формі. Проводячи диференціювання добутків ρω, одержимо

,

або

,

де субстанціональна похідна густини.

Субстанціональна похідна характеризує зміну будь-якого параметру або властивості матерії (субстанції) в часі при переміщенні матеріальних частинок у просторі.

У сталому потоці густина не змінюється в часі, тобто = 0, і рівняння (2.14) набуває вигляду:

. (2.15)

Для краплинних рідин, які практично не стискаються, а також для газів в умовах ізотермічного потоку при швидкостях, значно менших швидкості звуку, ρ=const і, отже,

. (2.16)

Рівняння (2.16) є диференціальним рівнянням нерозривностіпотоку рідини, що не стискається.

Сума змін швидкості уздовж осей координат в лівій частині рівняння (2.16) називається дивергенцією вектора швидкості і позначаєтьсячерез div ω. Тому дане рівняння можна представитияк

.

Для того, щоб перейти від елементарного об'єму до всього об'ємурідини, яка рухається суцільним потоком (без розривів і пусток) по трубопроводу змінного перерізу (рис.17), проінтегруємо диференціальне рівняння (2.15).

Якби площа перерізу трубопроводу не змінювалася, то для сталого однонаправленогоруху (у напрямку осі х) інтегрування рівняння (2.15) дала б залежність

ρω = const,

де ω – середня швидкість рідини.

Рис. 17. До виведення рівняння сталості витрати

Якщо ж площа перерізу S трубопроводу змінна, то, інтегруючитакож за площею, одержимо

ρω S = const . (2.17)

Для трьох різних перерізів (1-1, 2-2 і 3-3) трубопроводу, зображеногона рис.17, маємо

, (2.18)

або

G₁ = G₂ = G₃,

де G = ρωS– масова витрата рідини, кг/с.

Вираження (2.17) або (2.18) є рівнянням нерозривності (суцільності) потоку в його інтегральній формі для сталогоруху. Це рівняння називається також рівняннямпостійності витрати. Згідно рівнянню постійності витрати, при сталому русі рідини, що повністю заповнює трубопровід, через кожний його поперечний переріз проходить в одиницючасу одна і та ж сама маса рідини.

Для краплинних рідин ρ₁ = ρ₂ = ρ₃= const, тоді рівняння (2.17) набуваєвигляду:

ωS = const. (2.19)

Отже,

ω₁S₁=ω₂S₂ = ω₃S₃ = const, (2.20)

або

Q₁ = Q₂ = Q₃ , (2.21)

де Q = ωS – об'ємна витрата рідини, м³/с.

З рівняння (2.20) виходить, що швидкості краплинної рідини в різних поперечних перетинах трубопроводу обернено пропорційніплощамцих перетинів.

Згідно рівнянню (2.17), масова витрата рідини через початковийпереріз трубопроводу дорівнює її витраті через кінцевий перерізтрубопроводу. Таким чином, рівняння сталості витрати є окремим випадком закону збереження маси і виражає матеріальний баланс потоку.

У деяких випадках, наприклад, при скипанні рідини внаслідок різкого зниження тиску, утворюється пара, що може призвести до розриву потоку. В таких умовах, які іноді мають місце при роботі насосів, рівняння нерозривності потоку не виконується.