- •Міністерство освіти і науки україни
- •Методичні вказівки
- •Правила оформлення та виконання контрольної роботи (ргр)
- •1. Контрольна робота ( ргр ) № 1 Елементи лінійної та векторної алгебри. Аналітична геометрія. Диференціальне числення функції однієї та багатьох змінних
- •1.1 Вказівки до виконання контрольної роботи ( ргр ).
- •1.1.2 Елементи векторної алгебри.
- •1.1.3 Елементи аналітичної геометрії.
- •1.1.4 Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •1.1.5 Диференціальне числення функції багатьох змінних.
- •Задача 32.Дослідити на екстремум функцію:
- •1.2 Індивідуальні завдання
- •Література
1.1.2 Елементи векторної алгебри.
Координати вектора визначаються формулою ,якщо задані точки і .
Вектори і можна додавати і віднімати , де і довільні сталі. Якщо вектори лінійно незалежні, то вони утворюють базис і вектор може бути розкладений по цьому базису: , де – деякі числа. Якщо вектори іколінеарні, то їх координати пропорційні:.
Скалярний добуток векторів івизначається (, де- кут між векторамиі. Якщо вектори задані координатами, то скалярний добуток (. Умова перпендикулярності векторів: (0. Довжина вектора:. Кут між векторамиі:. Проекція векторана вектор: . Робота сили , яка прямолінійно переміщує матеріальну точку з початку в кінець векторавизначається формулою.
Векторним добутком векторів іє вектор, що задовольняє умовам: а) вектор б) довжина вектора обчислюється за формулою:, де- кут між векторамиі; в) утворюють праву трійку. Якщо вектори задані координатами, то векторний добуток обчислюється як . Площа трикутника АВС, для якого задані координати вершин, обчислюється як. Момент сили, прикладеної в точці, відносно точки визначається векторним добутком .
Мішаний добуток трьох векторів - це векторно-скалярний добуток , де . Три вектори компланарні, якщо вони належать одній площині або паралельним площинам. Умова компланарності трьох векторів: . Модуль мішаного добутку векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Об’єм піраміди . Знак вибираємо таким чином, щоб об’єм був додатним.
Задача 5. Перевірити колінеарність векторів, побудованих на векторах і, якщо .
Розв’язання: Знайдемо координати векторів :
.
Перевіримо умову колінеарності векторів:
Вектори не колінеарні, так як їх координати не пропорційні.
Задача 6. Задані координати вершин піраміди . Знайти:
а) Кут між ребрами та ; б) Площу грані ; в) Проекцію вектора на вектор, г) Довжину висоти піраміди, проведену з вершини , д) Яку трійку утворюють вектори , і ?
Дано: , , , .
Розв’язання:
Знайдемо координати векторів, на яких побудована піраміда: ,,.
а) Тоді косинус кута між ребрами та :
. Маємо
б) Площу грані знайдемо, як половину модуля векторного добутку векторів та :
.
=
(кв.од.)
в) Проекцію на обчислюємо за формулою:
г) Об’єм піраміди обчислимо, застосовуючи мішаний добуток векторів , і .
, (куб.од.)
Для знаходження висоти піраміди застосовуємо формулу
кв.од. і куб.од. Підставимо i в формулу для обчислення висоти:
(лін.од.)
д)Так як мішаний добуток векторів , то вони утворюють праву трійку.
Задача 7. Визначити при якому значенні вектори i взаємно перпендикулярні.
Розв’язання: Запишемо вектори в координатній формі: .Знайдемо скалярний добуток цих векторів: .З умови перпендикулярності векторів: маємо
.
Задача 8. З’ясувати, чи належать чотири точки , , і одній площині.
Розв’язання: Якщо 4 точки лежать в одній площині, то вектори ,, належать цій площині, отже будуть компланарні.
Перевіримо це. Знайдемо координати цих векторів: , і їх мішаний добуток
Вектори компланарні, точки А, В, С, D лежать в одній площині.
Задача 9. Дані сила = (5;−1;2) і дві точки і . Треба знайти: а) Роботу сили , необхідну для переміщення тіла із точки в точку ; б) Момент сили відносно точки, якщо сила прикладена в точку .
Розв’язання:
а) Робота А сили визначається як скалярний добуток сили на вектор переміщення. Знайдемо координати вектора:
= (0 − 3; 2 − (−1); −2 −1) = (− 3; 3;−3)
Тоді = ( 5; –1; 2 )( –3; 3; –3) = 5 (–3) + (–1)3 + 2(–3) = = –15 –3 –6 = –24.
б) Момент силивідносно точки, якщо сила прикладена в точку визначається як векторний добуток сили на плече.
.