- •Міністерство освіти і науки україни
- •Перелік скорочень
- •5 Хвильові рівняння. Електродинамічні потенціали
- •5.1 Хвильові рівняння (рівняння Гельмгольця)
- •5.2 Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герца
- •6 Плоскі електромагнітні хвилі
- •6.1 Загальні властивості плоских електромагнітних хвиль.
- •Параметр в загальному випадку комплексна величина
- •6.2 Плоскі хвилі в різноманітних однорідних ізотропних середовищах.
- •Характеристичний опір
- •7 Хвильові явища на межі розділу двох середовищ
- •7.2 Однорідна плоска хвиля, що розповсюджується у довільному напрямку.
- •7.5 Явище повного внутрішнього відбиття.
- •7.6 Імпедансні граничні умови (умови Леонтовича).
- •7.7 Повне відбиття і напрямлені хвилі.
- •Перелік посилань
- •Додаток а
- •А.4 Основні тотожності
- •Таблиця б.2 Основні характеристики діелектриків
6 Плоскі електромагнітні хвилі
6.1 Загальні властивості плоских електромагнітних хвиль.
В рівняння Гельмгольца (5.14), (5.15) вектори івходять однаковим чином. Тому повинні бути однаковими розв’язки цих рівнянь. Векториізв’язані рівняннями Максвела, то достатньо розв’язати одне з рівнянь Гельмгольца. Розв’язком являється функція координат і часу. Вона описує електромагнітні хвилі, які розповсюджуються в вільному просторі, в хвилеводах, об’ємних резонаторах і інших пристроях.
Хвильові гармонійні процеси характеризуються амплітудою, частотою (періодом) і фазою. Фаза коливань визначається не тільки часом t, але і відстанню від джерела хвиль до точки спостереження z, і швидкістю розповсюдження електромагнітних коливань :
,
де – фаза хвильового процесу;
– початкова фаза;
V – швидкість розповсюдження електромагнітних коливань.
Крім фази, швидкості розповсюдження, електромагнітні хвилі характеризуються довжиною, формою хвильової поверхні і поляризацією. Фазовим фронтом (хвильовою поверхнею) називається поверхня, в усіх точках якої основні вектори поля імають однакову фазу, інакше кажучи, на поверхні коливання синфазні.
В залежності від форми фазового фронту хвилі можуть бути плоскими, циліндричними, сферичними і мати більш складну форму хвильової поверхні.
Фазова швидкість - швидкість переміщення фазового фронту.
Довжина хвилі - відстань в напрямку розповсюдження електромагнітних коливань, на якій, при фіксованому моменті часу, фаза цих коливань змінюється на .
Розглянемо найважливіші властивості електромагнітних хвиль на найпростішому прикладі плоскої однорідної хвилі, яка розповсюджується вздовж вісі z в однорідному ізотропному середовищі.
У плоскої хвилі эквіфазна поверхня представляє собою площину (z=const). Хвиля називається однорідної, якщо її амплітуда стала в усіх точках фазового фронту тобто не залежить від координат цієї площини і неоднорідною, якщо її амплітуда залежить від координат точок фазового фронту.
Аналіз однорідної плоскої хвилі будемо проводити в декартовій системі координат. Її поле за визначенням не залежить від координат x і y, отже, хвиля характеризується співвідношенням
. (6.1)
Запишемо при цих умовах перші два рівняння Максвела в координатній формі
, (6.2)
, (6.3)
, (6.4)
, (6.5)
, (6.6)
. (6.7)
З виразів (6.4) і (6.7) слідує, що повздовжні складові поля ідорівнюють нулю, тобто електромагнітне поле має тільки поперечні складові (компоненти)тобто, а. Отже, векториілежать в площині, перпендикулярній напрямку розповсюдження z. Така хвиля називаєтьсяпоперечною електромагнітною хвилею, або ТЕМ, або згідно з ДСТУ Т-хвилею.
Рівняння (6.2-6.6), що залишалися, діляться на дві групи:
. (6.8)
. 6.9)
Ці дві системи можна розв’язати незалежно один від одного .
Продиференцюємо, наприклад, (6.6) по z; з урахуванням (6.2) отримаємо
. (6.10)
Рівняння (6.10) представляє собою однорідне рівняння Гельмгольца.
Параметр в загальному випадку комплексна величина
(6.11)
і називається хвильовим числом.
Через те, що рівняння (6.10) залежить від однієї координати z, перпендикулярної плоским хвильовим поверхням, то в (6.10) частинні похідні замінимо повними
. (6.13)
Диференційне рівняння (6.13) другого порядку для має розв’язок у вигляді суперпозиції двох частинних розв’язків виду
, (6.14)
де – довільні сталі інтегрування, які представляють собою комплексні амплітуди, наприклад,; які визначаються з граничних умов. Підставивши розв’язок (6.14) в (6.6), отримаємо
, (6.15)
звідки
,
або
. (6.16)
Враховуючи, що , тоді (6.16) приймає вигляд
, (6.17)
де
. (6.18)
Величина вимірюється в омах і називаєтьсяхарактеристичним опором середовища. В загальному випадку величина комплексна. В середовищі без втратвеличина дійсна:
. (6.19)
Для вакууму ,
. (6.20)
Аналогічно виконавши операції, зроблені для , можна отримати розв’язок для.з (6.9) буде дорівнювати
, (6.21)
а , використовуючи (6.21) і (6.9) буде дорівнювати
. (6.22)
В середовищі без втрат (), стала розповсюдження - величина дійсна, тоді переходячи від комплексних амплітуд до миттєвих значень, знайдемо
(6.23)
де .
Вираз (6.23) описує плоску електромагнітну хвилю, причому – її амплітуда, а аргумент косинуса – повна фазазмінюється в часі і просторі, а отже, змінюється і положення фазового фронту. Залежність Ex від z в фіксований моменти часутазображена на рис. 6.1
Знайдемо швидкість переміщення фронту хвилі, для чого зафіксуємо фазу поля і. Продиференціювавши ці рівності за часом, отримаємо
.
Звідси фазова швидкість
і . (6.24)
Таким чином, складова представляє собою суперпозицію двох незалежних одна від одної рухомих хвиль, одна з якихрозповсюджується в напрямку зростаючих значень z з фазовою швидкістю, і називаєтьсяпадаючю, а інша – в напрямку зменшення значень z зі швидкістю – і називаєтьсявідбитою.
Рисунок 6.1
Рисунок 6.2
Поки що, будемо розглядати тільки падаючу хвилю, тому можна записати, опускаючи знак “+”, що
. (6.25)
Для вакууму
–швидкість світла. (6.27)
З (6.25) слідує співвідношення, яке зв’язує хвильове число та частоту у вільному просторі
, (6.28)
враховуючи, що .
Вираз (6.28), називається сталою розповсюдження електромагнітної хвилі у вільному просторі .
Використовуючи форму запису (6.23) переходу від комплексних амплітуд до миттєвих значень складової , можна представити інші компоненти поляу вигляді
(6.29)
. (6.30)
Отже, електромагнітне поле (6.23) і (6.29) представляє собою суперпозицію чотирьох незалежних рухомих хвиль, які визначаються і,і,і,і. Однорідні плоскі рухомі хвилі (6.23) і (6.29) розповсюджуються вздовж осі z, яка перпендикулярна їхнім хвильовим площинам. Згідно з (6.30) векториіцих хвиль лежать в хвильових площинах і представляють собою поперечні складові векторів поля по відношенню до напрямку розповсюдження.
Якщо, зокрема, амплітуда падаючої і відбитої хвиль рівні одна одній і дорівнюють початковій фази, то отримуємо стоячу хвилю. Наприклад, для складової:
,
використовуючи відому тригонометричну тотожність
,
отримуємо
. (6.31)
Як видно (рис. 6.3) в кожний момент часу маємо нерухому косинусоїду: її нулі не зміщуються вздовж осі z, а залишаються фіксованими. Отже, все сказане можна стисло записати рівняннями, які зв’язують компоненти поля плоскої хвилі, для середовища з втратами
, (6.32)
. (6.33)
Розповсюдження хвилі супроводжується переносом потужності. Комплексний вектор Пойнтинга має тільки дійсну частину
, (6.34)
де
. (6.35)
При довільному напрямку розповсюдження електромагнітної хвилі вздовж r, розв’язок рівняння Гемгольца можна записати
, (6.36)
де – радіус-вектор довільної точки спостереження;
– хвильовий вектор, перпендикулярний до хвильового фронту.