5. Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана.

Математическое ожидание иногда называют просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину , принимающую значения,, ... ,с вероятностями,, ... ,. Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание, которое будем обозначать через:

.

Учитывая, что , получим

. (4.1)

Итак, математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Формулу (4.1) можно распространить на случай непрерывных величин, заменив в ней отдельные непрерывно изменяющейся величиной, соответствующие вероятности- элементом вероятности, сумму - интегралом. Итак, для непрерывной случайной величины, возможные значения которой располагаются по всей оси, математическое ожидание

,

при условии существования интеграла . Математическое ожидание непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу,

. (4.2)

Через функцию распределения математическое ожидание можно выразить следующим образом:

.

Приведем некоторые свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак математического ожидания:

.

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

.

Пример 3. Найти математическое ожидание числа бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина (число бракованных изделий) задана рядом распределения:

Решение. По формуле (4.1) находим

.

Модой дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение

Модой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, при котором плотность распределения имеет максимум. Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой распределения (рис. 12).

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого справедливо равенство:

,

то есть равновероятно, что случайная величина окажется меньше или больше медианы. С геометрической точки зрения медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (см. рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна :

.

Рис. 12

С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины и обозначают черезили через:

.

Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:

.

Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан в виде плотности вероятности , дисперсия

.

Через функцию распределения дисперсия выражается следующим образом:

.

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность квадрата случайной величины, и ее нельзя геометрически интерпретировать. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии:

.

Рассмотрим некоторые свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Свойство 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

(4.3)

Свойство 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины можно выносить за знак дисперсии , предварительно возведя его в квадрат:

.

Свойство 5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Свойство 6. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин иопределяется по формуле

.

Пример 4. Вычислить дисперсию числа бракованных изделий для распределения, приведенного в примере 3.

Решение. По определению дисперсии имеем

.

Следует отметить, что дисперсию удобно вычислять исходя не из ее определения, а по формуле (4.3).

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом -го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

Начальный момент дискретной случайной величины

;

начальный момент непрерывной случайной величины

.

Центральным моментом -го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

Центральный момент дискретной случайной величины

;

Центральный момент непрерывной случайной величины

.

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка - дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

.

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс):

.

Пример 5. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти коэффициент , математическое ожидание, дисперсию, асимметрию, эксцесс.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

.

Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим: . По формуле (4.2) найдем математическое ожидание:

.

Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

.

Таким образом,

.

Центральные моменты третьего и четвертого порядков вычислим через начальные моменты. Имеем:

;

;

;

;

;

;

;

.

6. Ч и с л о в ы е х а р а к т е р и с т и к и с р е д н е г о а р и ф м е т и ч е с к о г о n н е з а в и с и м ы х с л у ч а й н ы х в е л и ч и н. Пусть - наблюдавшиеся принезависимых испытаниях значения случайной величины, математическое ожидание которойи дисперсия. Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величиныс одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями:

, ,.

Средняя арифметическая этих случайных величин

.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать:

, (4.4)

, (4.5)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что такое дискретная случайная величина?

2. Дайте определение закона распределения дискретной случайной величины. Приведите примеры.

3. Будут ли дискретными следующий случайные величины:

а) число выбитых очков при стрельбе по мишени;

б) расстояние от точки попадания пули до центра мишени;

в) продолжительность работы данной электронной лампы в данном электронном приборе;

г) количество электронных ламп в данном приборе, вышедших из строя за данный промежуток времени;

д) момент выхода из строя данной электронной лампы данного прибора ?

4. Что называется функцией распределения случайной величины ?

5. Приведите определение непрерывной случайной величины.

6. Что называется плотностью вероятности случайной величины ? Как связаны между собой плотность вероятности и функция распределения непрерывной случайной величины ?

7. Как выражается вероятность попадания случайной величины в конечный интервал через функцию распределения?

8. Как выражается вероятность попадания непрерывной случайной величины в конечный интервал через плотность вероятности?

9. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины ? Что характеризует математическое ожидание ?

10. Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины ?

11. Дайте определение дисперсии случайной величины. Какие свойства случайной величины характеризует дисперсия ?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. В урне белых ичерных шаров. Вынули один шар. Случайная величина- число вынутых белых шаров. Построить функцию распределениявеличины.

Ответ:

2. Бросают три монеты. Пусть случайная величина - число выпавших “решеток”. Требуется построить ряд распределения и функцию распределениявеличины, если вероятность выпадания “герба” равна.

Ответ: ряд распределения приведен ниже, функция -на рис. 13.

Рис. 13.

3. Случайная величина задана функцией распределения

Найти: а) плотность вероятности ; б) вероятность попадания величиныв интервал; в) то же, в интервал.

Ответ: а)

б); в).

4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено билетов, причем вероятность выигрыша равна.

Ответ: .

5. Производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления успеха равна. Найти дисперсию числа появления успехов в этих испытаниях.

Ответ: .

6. Дана плотность вероятности случайной величины :

Найти: а) начальные и центральные моменты первых четырех порядков; б) асимметрию и эксцесс этой случайной величины.

Ответ: а) ,,,,,

, ,; б),.

7. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса . Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти функцию распределения и дисперсию расстояния от точки до центра круга.

Ответ:.

8. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны соответственнои. Найти математическое ожидание и дисперсию величины.

Ответ: ;.

9. Случайная величина эксцентриситета детали имеет распределение (). Найти: а) плотность вероятности случайной величины; б) ее моду и медиану.

Ответ: а) ; б),.