5.2 Побудова та розрахунок коефіцієнтів нелінійних регресійних залежностей

У випадку, коли необхідно розрахувати коефіцієнти нелінійної множинної регресії, рівняння нелінійної регресії зводиться до рівняння лінійної регресії шляхом так званих, ліанезуючих перетворень.

Найбільш поширеними нелінійними моделями регресії є:

– степенева модель

(5.4)

– показникова модель

(5.5)

Зведення вищезгаданих нелінійних регресійних рівнянь до лінійного рівняння виконується за допомогою логарифмування. Логарифмуючи ліву та праву частини рівнянь (5.4) – (5.5) отримаємо:

– для степеневої моделі

(5.6)

– для показникової моделі

(5.7)

Рівняння перетвореної степеневої моделі (5.6) є лінійним відносно залежного фактору та незалежних змінних,, ...,. Рівняння перетвореної показникової моделі (5.7) є лінійним відносно залежного факторута незалежних змінних,, ...,. Далі, розрахувавши коефіцієнти лінійної регресії для перетворених нелінійних моделей, шляхом зворотних перетворень знаходять шукані дійсні коефіцієнти регресії у рівняннях (5.4) – (5.5).

Для визначення коефіцієнтів регресії за степеневою та показниковою моделлю необхідно:

1) у діалоговому вікні Multiple regression – Множинна регресія (рис. 5.1) у спискуMode – Режим вибрати пунктFixed non-linear – Фіксована нелінійна регресія, після чого діалогове вікно приймає вигляд, показаний на рис. 5.8.

Рисунок 5.8 – Діалогове вікно множинної регресії

у режимі фіксованої нелінійної регресії

2) натиснувши кнопку вибрати змінні для побудови регресії. Максимальна кількість змінних для розрахунку не повинна перевищувати чотирьох. У список обраних змінних необхідно включити як залежну, так і незалежні змінні. Після вибору змінних слід натиснути кнопкуОКдіалогового вікна множинної регресії для продовження аналізу;

3) у діалоговому вікні Non-linear Components Regression – Нелінійні компоненти регресіївстановити опцію перетворення натурального логарифмуLN(X)(рис. 5.9) та натиснути кнопкуОК;

Рисунок 5.9 – Функції перетворення компонентів регресії

4) у вікні Model Definition – Визначення моделі (рис. 5.5) за допомогою кнопкивибрати залежну та незалежні змінні. СистемаSTATISTICAпісля перетворення компонентів нелінійної регресії у відповідності з вказаною функцією натурального логарифму додає до списку змінних їх перетворення. Для нашого прикладу вікно вибору залежної та незалежних змінних має наступний вигляд (рис. 5.10)

Рисунок 5.10 – Вікно вибору залежної та

незалежних змінних нелінійної регресії

До початкового списку з чотирьох змінних система додала чотири їх перетворення. Тобто, наприклад, значення змінної LN-V1є значеннями логарифмів змінноїХ1. Зауважимо, у лівому списку залежних змінних можна вибирати декілька змінних.

При побудові степеневої та показникової моделей необхідно вибирати замість залежної змінної Yїї логарифмічне перетворення (у нашому випадкуLN-V4).

У степеневій залежності замість незалежних змінних Х1, Х2,…, Х_nслід вказати їх логарифмічні перетворення (у нашому випадку відповідноLN-V1, LN-V2, LN-V3).

У показниковій залежності незалежні змінні у відповідності до рівняння (5.7) використовуються без перетворення, тобто у правому списку незалежних змінних слід вибрати їх дійсні значення (у нашому прикладі Х1,Х2таХ3);

5) після вибору залежної та незалежних змінних у діалоговому вікні Model Definition – Визначення моделі (рис. 5.5) слід вказати, чи необхідно включити до моделі вільний член у списку натиснути кнопкуIntercept – Вільний член(рис. 5.6) та натиснути кнопкуОК;

6) викликавши вікно з електронною таблицею результатів розрахунку коефіцієнтів регресії аналогічно вищеописаному для лінійної моделі перейти від перетворених коефіцієнтів регресії до дійсних. Розглянемо порядок визначення дійсних коефіцієнтів регресії за степеневою та показниковою моделями для нашого прикладу.

Вікно результатів розрахунку коефіцієнтів регресії для степеневої моделі показане на рис. 5.11.

Рисунок 5.11 – Результати розрахунків коефіцієнтів

регресії за степеневою моделлю

Таким чином, коефіцієнти при перетворених змінних у ліанезованому рівнянні степеневої регресії (5.6) мають наступні значення (стовпчикВтаблиці результатів на рис. 5.11):

; ;;.

Переходячи до дійсних значень коефіцієнтів у рівнянні степеневої регресії отримаємо:

; ;;.

Рівняння множинної регресії за ступеневою моделлю буде мати наступний вигляд

.

Вікно результатів розрахунку коефіцієнтів регресії для степеневої моделі показане на рис. 5.12.

Рисунок 5.12 – Результати розрахунків коефіцієнтів

регресії за показниковою моделлю

Таким чином, коефіцієнти при перетворених змінних у ліанезованому рівнянні показникової регресії (5.7) мають наступні значення (стовпчикВтаблиці результатів на рис. 5.12):

; ;;.

Переходячи до дійсних значень коефіцієнтів у рівнянні показникової регресії отримаємо:

; ;;.

Рівняння множинної регресії за показниковою моделлю буде мати наступний вигляд

.