big_doc_LKG

Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем

91

1.6.1.2. Генеральне стандартне відхилення невідоме. Цей випа-

док є характерним для малих вибірок (). Необхідний обсяг вибірки визначається із співвідношення (1.80) з використанням таких величин: вибіркового середнього ; незміщеної оцінки стандартного відхилення ; коефіцієнта , визначеного у відповідності з розподілом Стьюдента з ступенями вільності для надійності (додаток Д6).

Розрахунки виконують у такій послідовності.

1. Проводять декілька попередніх (пробних) 15–25 спостережень. На їх підставі обчислюють вибіркове середнє і виправлене стандартне відхилення (1.9).

2.Задають відносну точність розрахунків у процентах.

3.Обчислюють довірчий коефіцієнт за формулою

. (1.86)

4.Із додатку Д6 визначають ступінь вільності , що відповідає обчисленому .

5.Обчислюють необхідний обсяг вибірки за формулою .

Приклад 26. Скористаємося даними вибірки 1 прикладу 23, вважаючи їх пробними спостереженнями. Визначимо мінімальну кількість спостережень для отримання середньої величини тривалості циклу електронавантажувача з точністю і надійністю .

Розв’язок. Маємо ;

;

,

. Обчислюємо довірчий коефіцієнт за формулою (1.86)

.

Із додатку Д6 визначаємо . Отже, необхідна кількість спостережень дорівнює . Це означає, що обсяг розглядуваної вибірки є недостатнім для отримання середнього значення тривалості циклу електронавантажувача з заданою точністю.

Визначимо точність розрахунків, яку забезпечує дана вибірка. Із додатку Д6 для , що відповідає , визначаємо . Тоді за (1.80) маємо

.

92

Розділ 1

1.6.2. Експоненціальний розподіл. Цей розподіл має місце при дослідженні транспортно-складських процесів обслуговування на об’- єктах вантажопереробки. Основними досліджуваними параметрами є інтенсивність обслуговування або відмов у наданні послуги .

У випадку, коли досліджуваний об’єкт залишає систему не обслуженим, необхідний обсяг вибірки, який забезпечує оцінку величини із заданою граничною похибкою при обраній довірчій імовірності

дорівнює

,

(1.87)

де – кількість обслуговувань (відмов у обслуговуванні);

– припустиме значення інтенсивності відмов;

– розглядуваний період функціонування системи (об’єкта), год.

– довірчий коефіцієнт (табл. 1.30).

Таблиця 1.30

Значення для довірчої імовірності

1	0,33	8	0,61	40	0,78	200	0,89	800	0,94
2	0,42	10	0,64	50	0,80	250	0,90	1000	0,95
3	0,48	15	0,68	60	0,82	300	0,91
4	0,52	20	0,72	70	0,84	400	0,92
5	0,55	25	0,74	100	0,86	500	0,93
6	0,57	30	0,76	150	0,88	600	0,94

Визначення мінімального обсягу спостережень здійснюють у такій послідовності.

1. Проводять пробні спостереження за системою (об’єктом) за деякий порівняно невеликий відрізок часу і для нього встановлюють значення .

2.Задають відносну точність розрахунків в процентах.

3.Обчислюють величину

Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем

93

. (1.88)

4. За отриманою величиною із табл. 1.31 для довірчої імовірності визначають величину .

Таблиця 1.31

Значення для довірчої імовірності

1	0,21	7	0,53	13	0,63	40	0,77	200	0,89
2	0,31	8	0,55	14	0,64	50	0,79	250	0,90
3	0,39	9	0,57	15	0,65	60	0,81	300	0,91
4	0,44	10	0,59	20	0,69	80	0,83	400	0,92
5	0,48	11	0,60	25	0,72	100	0,85	500	0,93
6	0,51	12	0,62	30	0,74	150	0,87	600	0,94

5.Для знайденого значення і прийнятого із табл. 1.30 знаходять значення .

6.Задають значення досліджуваного періоду функціонування системи (об’єкта) і за формулою (1.87) обчислюють значення .

Приклад 27. Визначити необхідний обсяг вибірки для оцінки з точністю і надійністю інтенсивності відмов у обслуговуванні автомобілів на станції технічного обслуговування (СТО) протягом год.

Розв’язок. В результаті пробних спостережень за хв. зафіксовано два автомобіля, яким було відмовлено у обслуговуванні і вони покинули СТО не обслуженими. Тоді інтенсивність відмов дорівнює

авт./год.

Обчислюємо . Із табл. 1.31 для знаходимо . Із табл. 1.30 для маємо . Шуканий обсяг вибірки дорівнює

.

94

Розділ 1

1.6.3. Гамма-розподіл. Для оцінки середнього значення випадкової величини з відносною точністю в процентах при довірчій імовірності обсяг вибірки повинен бути не меншим за

,

(1.89)

де – -квантиль стандартного нормального розподілу (наведено у додатку Д2).

Порядок визначення аналогічний викладеному у 1.6.1.1. При цьому слід зауважити, що формула (1.89) справедлива при . Тому мінімальний обсяг вибірки при пробних спостереженнях повинен бути прийнятим не меншим ніж .

Приклад 28. Вважаючи, що вибірка прикладу 1 має гамма-розподіл, визначити обсяг вибірки, що дозволяє з точністю при довірчій імовірності обчислити середнє значення досліджуваної випадкової величини.

Розв’язок. Маємо ; ; . Тоді

.

1.6.4. Біномний розподіл. Для біномного розподілу можливі три випадки.

Випадок 1. За заданим значенням параметра розподілу обсяг вибірки визначається за формулою

. (1.90)

Приклад 29. Знайти обсяг вибірки, що дозволяє з імовірністю встановити, що частка вагонів на підприємстві з наднормативним простоєм під вантажними операціями не перевищує заданої величини .

Розв’язок. Маємо .

Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем

95

Випадок 2. Досліджується сукупність із ознак з специфічними ознаками (частка специфічних ознак дорівнює ). Необхідно для припустимої величини частки специфічних ознак знайти обсяг вибірки , який з заданою імовірністю забезпечує задану довжину інтервалу для оцінки . Необхідний обсяг вибірки у цьому випадку дорівнює

, (1.91)

де – квантиль стандартного нормального розподілу для

(додаток Д2).

Для квантилі нормального розподілу можна використати апроксимацію

. (1.92)

Приклад 30. У вантажопотоці з вантажних одиниць частка вантажів з порушенням вимоги доставки «точно у термін» складає . Необхідно знайти обсяг вибірки з довірчою імовірністю , щоб отримати довірчий інтервал для оцінки довжиною .

Розв’язок. У додатку Д2 для знаходимо . Шуканий обсяг вибірки дорівнює

.

Випадок 3. Визначається такий обсяг вибірки , який при відсутності у ній певних специфічних ознак () з імовірністю дає підставу стверджувати, що в сукупності розміром кількість специфічних ознак буде не більше за . У цьому випадку можна використати нерівність

, (1.93)

96

Розділ 1

де – ціла частина виразу у дужках.

Приклад 31. Визначити обсяг вибірки , для якого, при відсутності у вибірці пошкоджених при транспортуванні вантажів, з імовірністю можна стверджувати, що в партії з вантажних одиниць буде не більше пошкоджених.

Розв’язок. Маємо .

Питання для самоперевірки

1.Що таке випадкова величина?

2.Які бувають види випадкових величин?

3.Дайте визначення дискретної випадкової величини.

4.Дайте визначення неперервної випадкової величини.

5.Дайте визначення показника варіації випадкової величини

6.Перелічить основні статистичні характеристики випадкової величини.

7.Дайте визначення вибіркового середнього випадкової величини.

8.Дайте визначення дисперсії випадкової величини і основні її властивості.

9.Викладіть визначення стандартного відхилення випадкової величини і укажіть його основні властивості.

10.Як визначається коефіцієнт варіації?

11.За допомогою яких показників можна виразити ступінь коливності випадкової величини?

12.У чому полягає різниця між стандартним відхиленням і дисперсією?

13.Охарактеризуйте наступні поняття: статистичне спостере-

ження, статистична сукупність, метод групування.

14.Дайте характеристику неупорядкованого, ранжованого, варіаційного, інтервального, дискретного, динамічного, часового рядів.

15.Охарактеризуйте поняття неперервне, не неперервне спостереження, генеральна і вибіркова сукупність.

16.Охарактеризуйте сутність вибіркового методу спостережень.

17.Перелічіть і охарактеризуйте основні способи відбору досліджуваних ознак.

Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем

97

18.У чому полягає різниця похибок реєстрації і похибок репрезентативності?

19.Визначте область застосування вибіркового методу спостережень в транспортних системах.

20.Що слід розуміти під оцінкою параметрів процесу функціонування систем?

21.Охарактеризуйте методі виключення із вибірки аномальних спостережень.

22.Поясніть сутність перевірки однорідності статистичної сукупності вибірок.

23.На основі яких критеріїв здійснюється виключення із вибірки грубих аномальних спостережень?

24.Що характеризує показник довірчої ймовірності?

25.Який зв’язок існує між довірчою ймовірністю і рівнем значимості досліджуваної ознаки?

26.Охарактеризуйте основні складові, що входять в формули для визначення мінімальної кількості спостережень.

Література

1.Боровиков, В. П. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows [Текст] / В. П. Боровиков, И. П. Боровиков.– М: Информа- ционно-издательский дом «Филинъ», 1998.– 608 с.

2.Грушко, И. М. Основы научных исследований [Текст] / И. М. Грушко, В.М. Сиденко. –Харьков: Вища школа, 1983.– 224 с.

3.Кобзарь, А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников [Текст] / А. И. Кобзарь.– М.: Физматлит, 2006.– 816 с.

4.Круг, Г. К. Статические методы в инженерных исследованиях [Текст] / Г. К. Круг. – М.: Высшая школа, 1993.– 216 с.

5.Смирнов, Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики [Текст] / Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский.– М.: Наука, 1969 – 512 с.

6.Толбатов, Ю. А. Математична статистика та задачі оптимізації в алгоритмах і програмах [Текст] / Ю. А. Толбатов.– К.: Вища школа, 1994.– 399 с.

РОЗДІЛ 2

ІДЕНТИФІКАЦІЯ ВХІДНИХ ПАРАМЕТРІВ СТАТИСТИЧНИМИ ЗАКОНАМИ РОЗПОДІЛУ

Мета вивчення теми – набуття практичних навичок подання даних експериментальних досліджень у формі законів розподілу досліджуваних ознак.

Після опрацювання теми ви повинні вміти:

–представляти вихідні дані статистичними рядами розподілу (дискретними або неперервними) в табличній і графічній формах;

–за зовнішньою формою кривої розподілу вибирати гіпотетичний теоретичний закон розподілу;

–розраховувати параметри теоретичних законів розподілу;

–вибирати відповідні критерії згоди емпіричного розподілу з теоретичним;

–вибирати з використанням критерію згоди найбільш прийнятну аналітичну функцію розподілу досліджуваної ознаки;

–перевіряти можливість використання вибраного теоретичного закону розподілу для математичного опису реального процесу функціонування об’єкта.

2.1. Функція розподілу імовірності випадкової величини

Після попереднього опрацювання статистичних даних постають дві основні задачі:

–визначення виду імовірнісного закону, який характеризує досліджуваний процес, тобто апроксимація експериментальної ін-

формації деяким законом розподілу;

–перевірка придатності, тобто адекватності цього закону експериментальним даним.

Закон розподілу описується за допомогою функції розподілу випадкової величини і виступає як її універсальна характеристика.

Розрізняють емпіричні і теоретичні закони розподілу.

Законом розподілу випадкової величини Х називається всяке співвідношення, яке відображає зв’язок між можливими значеннями ви-

98

Розділ 2

падкової величини () і відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу в загальній формі задається функцією розподілу, яка визначає для кожного значення імовірність відбування події

. (2.1)

Через те, що ця функція відшукується емпіричним (експериментальним) шляхом, її називають емпіричною. Емпірична функція визначає для кожного значення х абсолютну або відносну частоту події

,

(2.2)

де – абсолютна частота події (кількість спостережень, в яких випадкова величина Х набуває значень, менших за х);

– загальна кількість спостережень (обсяг вибірки).

Функція розподілу існує для усіх випадкових величин як дискретних, так і неперервних, і повністю характеризує їх з імовірнісної точки зору. Для дискретної випадкової величини Х, яка може прийняти значення (), функція розподілу має вигляд

,

(2.3)

де символ під знаком суми означає, що підсумовування поширюється на всі можливі значення, які менші за аргумент х.

2.2. Емпіричні моделі вхідних параметрів

Емпіричний закон розподілу випадкової величини може бути зада-

ний в табличній або графічній формах.

В табличній формі закон розподілу випадкової величини задаєть-

ся статистичним рядом розподілу або функцією розподілу

(інтегральною функцією), яка визначається як сума відносних частот на всіх проміжках:

Ідентифікація параметрів статистичними законами розподілу

99

(2.4)

2.2.1. Таблична форма задавання емпіричного закону розподілу.

Таблична форма являє собою ряд розподілу випадкової величини, поданий у вигляді таблиці, в якій записані у певному порядку варіанти тієї чи іншої ознаки і показані частоти їх повторювання. В рядах розподілу дискретної випадкової величини окремі значення ознаки відрізняються одне від одного на деяку скінченну величину або ціле число. Побудова такого ряду розподілу здійснюється у такій послідовності:

1)значення випадкової величини розташовують у порядку зростання;

2)підраховують абсолютні частоти для кожного значення випадкової величини;

3)обчислюють імовірність появи випадкової величини ;

4)визначають значення функції розподілу .

В табл. 2.1 наведений приклад емпіричного закону розподілу кількості автомобілів, які надходять під навантаження на склад протягом години. Усього зафіксовано спостережень.

Таблиця 2.1 Емпірична функція розподілу дискретної випадкової величини

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	4	10	14	7	5	4	3	1
	0,04	0,08	0,20	0,28	0,14	0,10	0,08	0,06	0,02
	0,04	0,12	0,32	0,60	0,74	0,84	0,92	0,98	1,00