big_doc_LKG

		Випадкові процеси та їх статистичні характеристики									179
										Таблиця 3.7
				Центровані значення вихідних даних
	Номер					Період часу
	реалізації		1	2	3	4	5	6	7	8	9
			1,8	1,8	2,2	2,6	3,8	2,8	2	0,6	4
			1,8	1,8	3,2	2,6	1,8	2,8	3	3,6	2
			–1,2	0,8	–0,8	0,6	–0,2	–0,2	–1	–0,4	–1
			–2,2	–2,2	–1,8	–2,4	–2,2	–1,2	–1	–0,4	–2
			–0,2	–2,2	–2,8	–3,4	–3,2	–4,2	–3	–3,4	–3

Для обчислення оцінки дисперсії необхідно підсумувати квадрати чисел, що стоять у відповідному стовпці, а результат поділити на . Наприклад,

;

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Добуваючи із отриманих значень квадратний корінь, отримаємо стандартні відхи-

лення для заданих значень аргументу	:	;
і т.д. Результати обчислень	та	заносимо в рядки 2 і
3 табл. 3.6.

3. Обчислюємо оцінки кореляційного моменту. Обчислюємо оцінки кореляційного моменту за формулою (3.3).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

Розділ 3

;

Вважаючи, що кореляційна функція є симетричною, тобто , то результати обчислень занесені в табл. 3.8 над головною діагоналлю, а елементи головної діагоналі характеризують дисперсію випадкового процесу.

Таблиця 3.8

Результати обчислень кореляційної функції

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3,20	2,70	3,80	3,65	3,95	3,45	3,25	2,40	4,25
2		4,10	4,80	5,65	5,45	5,45	4,25	3,90	5,25
3			6,70	6,85	6,80	7,30	6,25	5,85	7,00
4				7,80	7,65	7,90	6,25	5,80	7,50
5					8,20	7,95	6,25	5,15	8,25
6						8,70	7,00	6,65	8,00
7							6,00	5,75	6,50
8								6,30	5,25
9									8,50

4. Визначаємо оцінки нормованої кореляційної функції. Величину нормованої кореляційної функції визначаємо діленням значення кореляційної функції (табл. 3.8) на добуток відповідних стандартних відхилень (табл. 3.6):

. (3.16)

Обчислюємо

;

;

			Випадкові процеси та їх статистичні характеристики									181
							;	.........................................			;
							;				.
	Отримані таким чином результати представлені в табл. 3.9.
											Таблиця 3.9
		Результати обчислень нормованої кореляційної функції
		1		2	3	4	5	6	7	8	9
	1	1		0,74	0,81	0,72	0,76	0,65	0,74	0,53	0,81	1,00
2				1	0,92	0,99	0,94	0,91	0,86	0,77	0,89	0,89
3					1	0,94	0,91	0,95	0,98	0,90	0,92	0,91
4						1	0,96	0,96	0,76	0,82	0,92	0,84
5							1	0,94	0,89	0,72	0,99	0,89
6								1	0,97	0,90	0,93	0,83
7									1	0,94	0,91	0,84
8										1	0,70	0,71
9											1	0,81

Для отримання середніх значень нормованої кореляційної функції (останній стовпець табл. 3.9) необхідно знайти суму значень діагональних елементів матриці вздовж паралелей головної діагоналі і поділити її на кількість елементів в цій діагоналі:

;

;

;

..................................................................................

; .

Обчислені середні значення нормованої кореляційної функції занесемо до табл. 3.9 та побудуємо графіки (рис. 3.6) емпіричних характеристик процесу доставки вантажів.

182	Розділ 3
Рис. 3.6.	Графіки характеристик випадкового процесу доставки вантажів

Проаналізуємо отримані результати з точки зору передбачуваної стаціонарності випадкового процесу . Судячи із графіків, можна зробити висновок, що випадковий процес не є стаціонарним, так як не має постійного значення, дисперсія змінюється у часі, значення нормованої кореляційної функції уздовж паралелей головної діагоналі також мають різні значення.

Однак, приймаючи до уваги дуже обмежену кількість реалізацій (), ці видимі відхилення від стаціонарності можна враховувати несуттєвими. Тому цілком доцільним буде припущення про стаціонарність випадкового процесу .

Метод Фостера-Стюарта.

Цей метод дає можливість визначити стаціонарність за середніми і дисперсією. Реалізація методу здійснюється за чотири етапи.

На першому етапі виконується порівняння випадкової функції у кожному перерізі, починаючи з другого, із всіма попередніми. При цьому визначаються дві числові послідовності:

Випадкові процеси та їх статистичні характеристики

183

де – дискретні моменти часу.

На другому етапі розраховуються величини і :

;

.

(3.17)

Величина характеризує змінювання функції і приймає значення від 0 (всі значення функції однакові між собою) до (функція змінюється монотонно). Величина характеризує змінювання дисперсії значень функції і змінюється від (функція монотонно спадає) до (функція монотонно зростає).

Третій етап полягає у перевірці таких гіпотез:

1)випадковості відхилення величини від математичного очікування ;

2)випадковості відхилення величини від нуля.

Ця перевірка виконується з використанням розрахункових значень t-критерію Стьюдента для середнього та для дисперсії :

; . (3.18)

При значення та приймаються за табл. 3.10.

Таблиця 3.10 Значення та критерію Фостера-Стюарта

	10	15	20	25	30	35	40	45	50
	1,964	2,153	2,279	2,373	2,447	2,509	2,561	2,606	2,645
	1,288	1,521	1,677	1,791	1,882	1,956	2,019	2,072	2,121

При величини та обчислюються за формулами

184

Розділ 3

;	,
На четвертому етапі розрахункові значення і	порівнюють-

ся з табличним значенням -критерію Стьюдента за прийнятим рів-

нем значимості і кількістю ступенів вільності	.
Алгоритм методу полягає у наступному.

1.Розраховуються величини і .

2.Обчислюються суми і .

3.За табл. 3.10 в залежності від знаходяться та .

4.Обчислюються розрахункові значення і .

5.За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (додаток Д6) визначаються критичні значення в залежності від вибраного рівня

значимості (зазвичай ) і кількості ступенів вільності .

6. Здійснюють порівняння статистик:

а) якщо і , то процес вважається нестаціонарним

у середньому і в дисперсії;

б) якщо і , то процес вважається нестаціонарним

у середньому і стаціонарним у дисперсії. У цьому випадку порушен-

ня стаціонарності можна вважати незначимим і доцільним буде прийняти припущення про стаціонарність процесу ;

в) якщо і , то процес вважається стаціонарним у середньому і нестаціонарним у дисперсії. Випадковий процес навіть приблизно не може вважатися стаціонарним;

г) якщо і , то процес вважається стаціонарним і в

середньому, і в дисперсії.

Приклад 3. В табл. 3.11 представлені статистичні дані погодинних обсягів перевезень вантажів на п’яти маршрутах () за час перебування транспортних засобів в наряді год.

Таблиця 3.11

		Обсяги перевезення вантажів (т)
Маршрути				Періоди часу, год.
	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
1	76	78	79	77	76	75	75	73	74	74
2	74	65	66	67	71	71	67	73	81	88
3	90	89	89	88	91	92	94	99	98	100
4	97	94	95	100	104	113	111	114	110	109
5	115	119	123	119	123	131	147	151	147	141

Випадкові процеси та їх статистичні характеристики

185

Необхідно перевірити вантажопотік на стаціонарність.

Розв’язок.

1. Розраховуємо (табл. 3.12) величини , і знаходимо і .

												Таблиця 3.12
			Результати розрахунку значень					, ,		,
1	76	–	–	–	–	26	92		1		0	1	1
2	78	1	0	1	1	27	94		1		0	1	1
3	79	1	0	1	1	28	99		1		0	1	1
4	77	0	0	0	0	29	98		0		0	0	0
5	76	0	0	0	0	30	100		1		0	1	1
6	75	0	1	1	–1	31	97		0		0	0	0
7	75	0	0	0	0	32	94		0		0	0	0
8	73	0	1	1	–1	33	95		0		0	0	0
9	74	0	0	0	0	34	100		0		0	0	0
10	74	0	0	0	0	35	104		1		0	1	1
11	74	0	0	0	0	36	113		1		0	1	1
12	65	0	1	1	–1	37	111		0		0	0	0
13	66	0	0	0	0	38	114		1		0	1	1
14	67	0	0	0	0	39	110		0		0	0	0
15	71	0	0	0	0	40	109		0		0	0	0
16	71	0	0	0	0	41	115		1		0	1	1
17	67	0	0	0	0	42	119		1		0	1	1
18	73	0	0	0	0	43	123		1		0	1	1
19	81	1	0	1	1	44	119		0		0	0	0
20	88	1	0	1	1	45	123		0		0	0	0
21	90	1	0	1	1	46	131		1		0	1	1
22	89	0	0	0	0	47	147		1		0	1	1
23	89	0	0	0	0	48	151		1		0	1	1
24	85	0	0	0	0	49	147		0		0	0	0
25	91	1	0	1	1	50	141		0		0	0	0
											∑	22	16

2. За табл. 3.10 для знаходимо:

; ;

3. Використовуючи формули (3.18), обчислюємо статистики для випадкових величин r і d:

186

Розділ 3

;

.

4. За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (додаток Д6) на рівні значимості і для кількості ступенів вільності знаходимо критичне значення .

5. Так як і , то процес вважаємо нестаціонарним як в середньому, так і в дисперсії.

Метод, заснований на співпадінні законів розподілу.

Цим методом можна скористатися при виявленні стаціонарності потоків вимог на обслуговування об’єктів. Він базується на гіпотезі, згідно з якою у стаціонарного потоку випадкові величини мають один і той же закон розподілу.

Перевірку гіпотези здійснюють за допомогою критерію Круска- ла–Уолліса, застосування якого не пов’язане з яким-небудь припущенням щодо виду розподілу випадкової величини ().

Для обчислення критерію Крускала–Уолліса за даними спостережень випадкових величин в реалізаціях необхідно:

1)розташувати всі значень випадкової величини

упорядку зменшення і приписати кожному ранг (номер місця у упорядкованій таким чином послідовності). Якщо в послідовності з чисел є однакових, то кожному із них присвоюється ранг, який дорівнює середньому значенню номера із сумарної кількості номерів, займаних цими числами місць в упорядкованій послідовності. Наприклад, якщо на 5-му, 6-му і 7-му місцях стоять однакові числа, то кож-

ному з них приписується ранг ;

2)знайти суми рангів спостережень величин ();

3)розрахувати значення критерію за формулою

(3.19)

Випадкові процеси та їх статистичні характеристики

187

або

, (3.20)

де – середній ранг для кожної випадкової величини ;

– середній ранг за всією послідовністю.

Якщо всі мають один і той же закон розподілу, то набуває невеликих значень, при різних законах розподілу (тобто при від-

сутності стаціонарності) набуває великих значень.

При збігу законів розподілу випадкової величини статистика має -розподіл з кількістю ступенів вільності . Для

перевірки стаціонарності (однаковості розподілів випадкових величин ) необхідно:

1)задатися рівнем значимості (зазвичай 0,05 або 0,01);

2)за таблицею -розподілу для рівня значимості та кількості ступенів вільності знайти квантиль розподілу;

3)якщо , то гіпотезу щодо стаціонарності слід відхилити і вважати потік вимог нестаціонарним.

Приклад 4. Аналізується робота транспортної системи металургійного комбінату. В табл. 3.13 наведені статистичні дані кількості повідомлень з вузлової станції про прибуття вантажів на адресу підприємства, що надійшли погодинно за 10 год. () робочого часу (з 8:00 до 18:00 год.) за три доби ().

Таблиця 3.13

Статистичні дані про кількість повідомлень

Доба			Погодинна кількість повідомлень
(реалізація)
	1	2	3	4	5	6	7		8	9	10
1	6	2	5	5	0	5	6		4	2	4
2	1	3	5	8	4	3	3		2	4	2
3	2	4	1	5	7	2	8		6	8	7

Для обґрунтування виду математичної моделі потоку повідомлень необхідно перевірити його на стаціонарність.

Розв’язок.

188

Розділ 3

1. Упорядковуємо і ранжуємо значення				(табл. 3.14).
								Таблиця 3.14
		Ранжування послідовності
Значення	Ранг		Значення		Ранг		Значення		Ранг
8	1		5		11		3		21
8	2		5		12		2		22
8	3		5		13		2		23
7	4		4		14		2		24
7	5		4		15		2		25
6	6		4		16		2		26
6	7		4		17		2		27
6	8		4		18		1		28
5	9		3		19		1		29
5	10		3		20		0		30

2. Присвоюємо ранги статистичним даним спостережень і розраховуємо складові для обчислення критерію (табл. 3.15). Значення рангу для дорівнює

; для : і т. д. Отримаємо

.

3.Приймаємо рівень значимості . Із таблиці квантилей розподілу (додаток Д3) для кількості ступенів вільності знаходимо .

4.Розраховуємо співвідношення

.

5. Оскільки , то потік повідомлень вважаємо стаціо-

нарним.

3.3.Марківські випадкові процеси

3.3.1.Основні властивості марківського випадкового процесу.

Задавання конкретної системи зводиться до задавання її станів, починаючи з моменту зародження і закінчуючи загибеллю або переходом у іншу систему. Змінні стану характеризують властивості об’єкта, які змінюються впродовж часу перебігу процесу його функціонування.