Идентификация нелинейных систем

Если величина среднеквадратичного отклонения идентифицируемой системы  слишком велика, значит, структура  модели неудовлетворительна и необходимо учитывать нелинейные члены алгебраического полинома. Рассмотрим порядок идентификации параметров нелинейной системы второго порядка с одним выходом у и входами   Z₁, Z₂,… Z_n.

 

(6.9)

 

Обозначим переменные Z_i и произведения Z_i Z_jпеременных в выражении (6.9) через новые переменные х_i (i=1, 2,…m). С учетом этого, выражение (6.9) можно записать в виде:

 

,        (6.10)

 что совпадает с (6.4).

Для большинства систем 20% факторов определяют 80% свойств. Поэтому в процессе идентификации несущественные параметры, влияние которых на величину среднеквадратичного отклонения мало, отсеивают. Тем самым определение значений постоянных коэффициентов в (6.9) и в эквивалентном ему выражении (6.10) представляет собой процесс структурно-параметрической идентификации.

Достоверность (адекватность) регрессионной модели

Обычно мерой ошибки  регрессионной модели служит стандартное  (среднеквадратичное) отклонение _. Для процессов, подчиняющихся закону нормального распределения, приблизительно 66% точек находится в пределах одного стандартного отклонения от модели и 95% точек в пределах двух стандартных отклонений.

 

Стандартное отклонение – важный показатель для решения вопроса о достоверности модели. Большая ошибка может означать, что модель не соответствует процессу, который послужил источником экспериментальных данных. Однако большая ошибка модели может быть вызвана и другой причиной: большим разбросом данных измерений. В этом случае, возможно, потребуется взять большее количество выборок.

Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии применяют дисперсию адекватности:                                       

                                                ;   f– число степеней свободы.

 

Проверка значимости (качества предсказания) множественного уравнения регрессии можно осуществить на основе F-критерия Фишера. Вычисляют дисперсию среднего:

 

.

 

            Вычисляют так называемую остаточную дисперсию  (дисперсию адекватности):

 

.

 

Сравнивают   с числом степеней свободы в числителе , в знаменателе . Считают, что уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше среднего, если F достигает или превышает границу значимости при выбранном уровне значимости р (обычно принимают р = 1 – q = 5 % ).            Другими словами, F – критерий Фишера показывает во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше,чем среднее «у».

Построение моделей идентификации поисковыми методами

При нелинейной параметризации дело обстоит сложнее. Приходится решать систему нелинейных уравнений. Для этого можно использовать методы последовательного приближения.

Предположим, что y (функция отклика) – доля химического вещества А, оставшаяся к моменту времени x₁ в результате реакции типа А’В. Зависимая переменная y удовлетворяет дифференционному уравнению (известно из литературы): , где K– константа скорости. Решение этого уравнения при следующих начальных условиях: у=1 при х=0 имеет вид: у= exp (-К х₁); K зависит от абсолютной температуры х₂ следующим образом:

К= b₁ ехр (-b₂ / х₂) , b₁– предэкпоненциальный множитель, b₂ – энергия активации. Модель процесса

                      (6.11)

нелинейна по параметрам b₁, b₂ .

Если ввести     то

 

     

 

 

            Начальные (нулевые) значения параметров b₁⁰,b₂⁰ могут быть получены методом линеаризации:

ln у = - b₁х₁ ехр ( -b₂ / х₂); ln у (- ln у) = ln b₁ - b₂ / х₂ + ln х₁  или

, где ,  , , .

            Поисковые методы идентификации. В этих методах принятый критерий невязки (показатель качества идентификации) формируется из выходных характеристик объекта и его идентифицируемой модели и минимизируется с помощью численных методов. Итерационный процесс изменения вектора идентифицируемых параметров определяется используемым алгоритмом (методом) поиска и текущей ситуацией.